不等式高考复习(6)全面版

考纲要求考情分析1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．了解分析法和综合法的思考过程及特点．2.了解间接证明的一种基本方法——反证法．了解反证法的思考过程及特点.1.从考查内容看，本考点是历年高考的必考内容，主要考查证明中的综合法和反证法，分析法一般不会单独命题．2.从考查形式看，题型主要以解答题为主，并且注重与其他知识交汇在一起命题.一、直接证明内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论.从要证的出发，逐步寻求使它成立的___________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件实质由因导果执果索因推理论证结论充分条件成立内容综合法分析法证题步骤P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒QQ⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件文字语言因为…所以…或由…得…要证…只需证…即证…符号语言⇒⇐综合法和分析法有什么区别和联系？提示：分析法是执果索因，一步步寻求上一步成立的充分条件，仅是充分条件，而不需要充要条件．综合法是由因导果．因此分析法的证明过程，恰好是综合法的分析、思考的逆过程．二、间接证明——反证法定义假设原命题，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明，从而证明了，这样的证明方法叫做反证法．证明步骤(1)分清命题的条件和结论；(2)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(3)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(4)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．不成立假设错误原命题成立适用范围(1)否定性命题；(2)命题的结论中出现“至少”、“至多”、“唯一”等词语的；(3)当命题成立非常明显，而要直接证明所用的理论太少，且不容易说明，而其逆否命题又是非常容易证明的；(4)要讨论的情况很复杂，而反面情况很少.1．要证明3＋7＜25，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法解析：根据条件和分析法的定义可知B选项最合理．故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“m，n∈N，mn可被3整除，那么m，n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为()A．m，n都能被3整除B．m，n都不能被3整除C．m，n不都能被3整除D．m不能被3整除解析：“至少有一个”的反面为“都不是”，故选B.答案：B3．已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()A．若ab，则ac2bc2B．若acbc，则abC．若a3b3且ab0，则1a1bD．若a2b2且ab0，则1a1b解析：A中，当c＝0时不成立；B中，当c0时不成立；C中，原不等式等价于a0b，故1a01b，正确；D中，由a2b2且ab0得ab0或ab0，当ab0时1a1b不成立．答案：C4．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了________．(填“综合法”、“分析法”或“反证法”)解析：本题的证明中，采用了从条件向结论证明的方法，故为综合法．答案：综合法5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1＞0，a3＝b3＞0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系为________．解析：设公比为q，公差为d.则a3＝a1q2，b3＝b1＋2d＝a1＋2d，由a3＝b3，∴2d＝a1(q2－1)，又∵a1≠a3，∴q2≠1.∴a5－b5＝a1q4－(a1＋4d)＝a1(q2－1)2＞0，∴a5＞b5.答案：a5＞b5【考向探寻】用综合法证明所给问题．综合法的应用【典例剖析】已知x＋y＋z＝1，求证x2＋y2＋z2≥13.利用基本不等式，按综合法的思路证明即可．解：∵x2＋y2≥2xy，y2＋z2≥2yz，x2＋z2≥2xz，∴(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(z2＋x2)≥2xy＋2yz＋2xz，∴2(x2＋y2＋z2)≥2xy＋2yz＋2xz，∴3(x2＋y2＋z2)≥x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2xz＝(x＋y＋z)2＝1，∴x2＋y2＋z2≥13.综合法是中学数学证明中常用的一种方法．它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列的推理，最后导出所要求证结论的真实性．简言之，综合法是一种由因导果的证明方法，其逻辑依据是“三段论”式的演绎推理方法．【活学活用】1．对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．若函数f(x)为理想函数，求证f(0)＝0.证明：∵f(x)为理想函数，∴f(0)≥0，又f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0，∴f(0)＝0.【考向探寻】用分析法解决所给问题．分析法的应用【典例剖析】(1)(2013·郴州模拟)若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4(a≥0)，则P，Q的大小关系是A．PQB．P＝QC．PQD．由a的取值确定(2)已知a＞0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.题号分析(1)比较P2、Q2的大小．(2)利用分析法证明.(1)解析：由题意知，只需比较P2、Q2的大小，而P2＝2a＋7＋2a2＋7a，Q2＝2a＋7＋2a2＋7a＋12∵a2＋7aa2＋7a＋12，∴P2Q2，∴PQ.答案：C(2)解：要证a2＋1a2－2≥a＋1a－2，只要证a2＋1a2＋2≥a＋1a＋2.∵a＞0，故只要证a2＋1a2＋22≥a＋1a＋22，即a2＋1a2＋4a2＋1a2＋4≥a2＋2＋1a2＋22a＋1a＋2，从而只要证2a2＋1a2≥2a＋1a，只要证4a2＋1a2≥2a2＋2＋1a2，即a2＋1a2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．分析法也是数学中常用到的一种直接证明方法，证题时先假设所要证明命题的结论是正确的，由此逐步推出使此结论成立的充分条件，当这些条件恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时，命题得证(应该强调的一点，它不是由命题的结论去证明前提)．因此，分析法是一种执果索因的证明方法．这种证明方法的逻辑依据是“三段论”式的演绎推理方法．用分析法证题时，一定要严格按要求的格式书写，否则容易出错．【活学活用】2．已知a、b∈(0，＋∞)，求证：(a3＋b3)13(a2＋b2)12.证明：因为a、b∈(0，＋∞)，要证原不等式成立，只需证[(a3＋b3)13]6[(a2＋b2)12]6，即证(a3＋b3)2(a2＋b2)3，即证a6＋2a3b3＋b6a6＋3a4b2＋3a2b4＋b6，只需证2a3b33a4b2＋3a2b4.因为a、b∈(0，＋∞)，所以即证2ab3(a2＋b2)．而a2＋b2≥2ab,3(a2＋b2)≥6ab2ab成立，所以(a3＋b3)13(a2＋b2)12.【考向探寻】用反证法解决所给问题．反证法的应用【典例剖析】(1)反证法的关键是在正确推理下得出矛盾，这个矛盾可以是①与已知矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理、法则矛盾；④与事实矛盾．A．①②B．①③C．①③④D．①②③④(1)利用反证法的定义判断；(2)①利用综合法并结合增函数的定义证明．②利用反证法证明．(2)已知函数f(x)＝ax＋x－2x＋1(a1)．①求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；②用反证法证明f(x)＝0没有负实数根．(1)解析：由反证法的定义知①②③④都正确．答案：D(2)①证明：设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1x2，则x2－x10，ax2－x11，且ax10，所以ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)0，又因为x1＋10，x2＋10，所以x2－2x2＋1－x1－2x1＋1＝x2－2x1＋1－x1－2x2＋1x2＋1x1＋1＝3x2－x1x2＋1x1＋10，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋x2－2x2＋1－x1－2x1＋10，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．②解：设存在x00(x0≠－1)，满足f(x0)＝0，则ax0＝－x0－2x0＋1.又0ax01，所以0－x0－2x0＋11，即12x02，与x00(x0≠－1)假设矛盾，故f(x)＝0没有负实数根．用反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误．既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立．(结论成立)(1)用反证法证明命题时要注意以下两点：①反证法必须以否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件进行推证，否则就不是反证法．②反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．(2)常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q【活学活用】3．已知数列{an}满足a1＝λ，an＋1＝23an＋n－4，其中λ为实数，n为正整数．求证：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列．证明：假设数列{an}为等比数列，则a1，a2，a3成等比数列．∴a22＝a1·a3.又a1＝λ，a2＝23λ－3，a3＝49λ－4，∴23λ－32＝λ49λ－4.整理得9＝0.上式显然不成立．∴假设不成立，∴数列{an}不是等比数列.证明不等式问题的答题技巧(12分)已知a，b，c均为正数，求证：a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．利用a2＋b2≥2ab，1a2＋1b2≥2ab，再利用ab＋1ab≥2，根据这个解题思路去解答本题即可．因为a，b，c均为正数，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理1a2＋1b2＋1c2≥1ab＋1bc＋1ac，②6分故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥ab＋bc＋ac＋31ab＋31bc＋31ac≥63.③所以原不等式成立.10分当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝314时，③式等号成立.12分第一步：用基本不等式证明；第二步：利用不等式的性质证题；第三步：证得原不等式成立；第四步：判断等号成立的条件．点击进入WORD链接活页作业谢谢观看！只要我们坚持了，就没有克服不了的困难。或许，为了将来，为了自己的发展，我们会把一件事情想得非常透彻，对自己越来越严，要求越来越高，对任何机会都不曾错过，其目的也只不过是不让自己随时陷入逆境与失去那种面对困难不曾屈服的精神。但有时，“千里之行，始于足下。”我们更需要用时间持久的用心去做一件事情，让自己其中那小小的浅浅的进步，来击破打破突破自己那本以为可以高枕无忧十分舒适的区域，强迫逼迫自己一刻不停的马不停蹄的一直向前走，向前看，向前进。所有的未来，都是靠脚步去丈量。没有走，怎么知道，不可能；没有去努力，又怎么知道不能实现？幸福都是奋斗出来的。那不如，生活中、工作中，就让这“幸福都是奋斗出来的”完完全全彻彻底底的渗入我们的