托勒密定理

托勒密定理【定理内容】圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD内接于圆，则有BDACBCADCDAB.[评]等价叙述：四边形的两组对边之积的和等于两对角线之积的充要条件是四顶点共圆。【证法欣赏】证明：如图，过C作CP交BD于P，使21,∵43,∴ACD∽BCP,∴BPADBCAC，即ADBCBPAC①又DCPACB，65，∴ACB∽DCP,∴DPABDCAC，即DCABDPAC②∴①＋②得：DCABADBCDPBPAC)(即BDACBCADCDAB【定理推广】托勒密定理的推广：在四边形ABCD中，有BDACBCADCDAB；当且仅当四边形ABCD内接于圆时，等式成立。[证]在四边形ABCD内取点E，使CADBAE，ACDABE则ABE∽ACD∴ADAECDBEACAB，∴BEACCDAB；∵ADAEACAB，且EADBACCDABEABCD中学数学中的著名定理~1~∴ABC∽AED∴ADEDACBC，即EDACBCAD；∴)(EDBEACBCADCDAB∴BDACBCADCDAB当且仅当E在BD上时“=”成立，即四点共圆时成立；、、、当且仅当DCBA【定理推广】托勒密定理的推论：等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．即：若四边形ABCD是等腰梯形，且BCAD//，则BCADABAC22.分析：因为等腰梯形必内接于圆，符合托勒密定理的条件，其对角线相等，两腰相等，结论显然成立。【定理应用】【例1】如图，P是正ABC外接圆的劣弧BC上任一点(不与B、C重合)，求证：PCPBPA．证明：由托勒密定理得：ABPCACPBBCPA∵CABCAB∴PCPBPA.[注]此例证法甚多，如“截长”、“补短”等，详情参看《初中数学一题多解欣赏》．【定理应用】【例2】证明“勾股定理”：已知：在ABCRt中，90B，求证：222BCABAC。证明：如图，以ABCRt的斜边AC为对角线作矩形ABCD，则ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，得ABCP中学数学中的著名定理~2~BCADCDABBDAC①∵ABCD是矩形，∴CDAB，BCAD，BDAC②把②代人①，得：222BCABAC．【定理应用】【例3】如图，在ABC中，A的平分线交外接圆于D，连结BD，求证：)(ACABBDBCAD．证明：连结CD，由托勒密定理，得BDACCDABBCAD．∵CADBAD，∴CDBD．故)(ACABBDBCAD．【定理应用】【例4】若a、b、x、y是实数，且122ba，122yx．求证：1byax．证明：如图，作直径1AB的圆，在AB两侧任作ACBRt和ADBRt，使aAC，bBC，xBD，yAD．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有CDABBCADBDAC．∵1ABCD，∴1CDABBCADBDAC，即1byax．【定理应用】【例5】已知a、b、c是ABC的三边，且)(2cbba，求证：BA2．证明：∵)(2cbba，∴cbbbaa，由托勒密定理，构造圆内接四边形。中学数学中的著名定理~3~如图，作ABC的外接圆，以A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、CD、AD．∵BCAD，∴BACABD，则21，∴bACBD由托勒密定理得：ACBDCDABADBC即bbDCcaa①又∵)(2cbba，∴cbbbaa，②比较①②得bBDCD，则213，∴ABCBAC2【定理应用】【例6】在ABC中，已知4:2:1::CBA，求证：BCACAB111.证明：如图，作ABC的外接圆，作弦BCBD，连结AD、CD．∵4:2:1::CBA，∴CDACBACAD，CABADBABD3∴ADAB，ACCD，在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，得：CDABADBCBDAC∴ACABABBCBCAC，则BCACAB111.【定理应用】【例7】由ABC外接圆的弧BC上一点P分别向边BC、AC与AB作垂线PK、PL和PN，求证：PMABPLACPKBC.证：连接PA、PB、PC，四边形ABPC，由托勒密定理得：CPABBPACAPBC即PMCPPMABPLBPPLACPKAPPKBC①∵LAPKBP，∴KBPRt∽LAPRt中学数学中的著名定理~4~∴PAPBPLPK，∴PLBPPKAP②同理可得PMCPPLBP③②③代人①得：PMABPLACPKBC.【练习】[1]已知ABC中，CB2。求证：)(2BCABABAC.[2]已知正七边形721AAA。求证：413121111AAAAAA.（第21届全苏数学竞赛）[提示]1.过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。2．