2009年上海高考数学理科卷带详解

2009年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．若复数z满足z（1+i）=1i（i是虚数单位），则其共轭复数z=_________．【测量目标】复数的基本概念；复数代数形式的四则运算.【考查方式】化简复数等式，求解一个复数的共轭复数.【难易程度】中等【参考答案】i【试题解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi）(1+i)=1i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，（步骤1）由11baba，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，z＝i，故答案为i．（步骤2）2．已知集合A={x|x„1}，B={x|x…a}，且AB=R，则实数a的取值范围是_________．【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合，已知集合间的关系，运用数轴法求解集合中未知参数的取值范围．【难易程度】容易【参考答案】a„1【试题解析】因为AB=R，画数轴可知，实数a必须在点1上或在1的左边，所以，有a„1.第2题图3．若行列式4513789xx中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是_________．【测量目标】矩阵初步.【考查方式】根据代数余子式的概念，列出关于x的不等式求出取值范围.【难易程度】中等【参考答案】x＞83【试题解析】依题意，得：(1)2(9x24)＞0，解得：83x，故答案为：x＞83.4．某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_________．第4题图【测量目标】选择结构程序框图.【考查方式】给出程序框图，按照程序框图的执行流程分析循环过程，判断输入值与输出值之间的关系.【难易程度】容易【参考答案】2,12,1xxxyx„【试题解析】根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是2,12,1xxxyx„，故答案为：2,12,1xxxyx„.5．如图，若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是_________.（结果用反三角函数值表示）第5题图【测量目标】异面直线所成的角.【考查方式】给出正四棱柱的边长及高，判断正四棱柱中两条异面直线所成角的值.【难易程度】容易【参考答案】arctan5【试题解析】先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，（步骤1）BC=2，D1C=25，tan∠D1BC=5，∴∠D1BC=arctan5，故答案为arctan5．（步骤2）第5题图6．函数y=2cos2x+sin2x的最小值是_________．【测量目标】三角函数的最值.【考查方式】给出三角函数，通过化简求解函数的最小值.【难易程度】中等【参考答案】12【试题解析】22cossin21cos2sin21yxxxx222(cos2sin2)22xx=1+π2sin(2)4x（步骤1）当π24x=2kππ2，kZ，y有最小值12，故答案为12.（步骤2）7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ_________（结果用最简分数表示）．【测量目标】离散型随机变量的期望与方差【考查方式】给出数学实例，结合变量对应的事件写出分布列求出期望．【难易程度】容易【参考答案】47【试题解析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，（步骤1）∴P（ξ=0）=2527C10C21.P（ξ=1）=115227CC10C21.P（ξ=2）=2227C1C21（步骤2）∴Eξ=02112211012110=47．故答案为：47.（步骤3）8．已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是_________．【测量目标】球的表面积.【考查方式】给出三个球的半径之间的关系，根据面积公式推出表面积之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】12323SSS【试题解析】因为1S=4πR12，所以112πSR，同理：222πSR332πSR，（步骤1）即R1=12πS，R2=22πS，R3=32πS，由S1+S2=3R3得12323SSS，故答案为：12323SSS.（步骤2）9．已知F1、F2是椭圆C：22221xyab（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且12PFPF．若△PF1F2的面积为9，则b=_________．【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出椭圆上的一点与椭圆两交点之间的位置关系，及它们所形成的三角形面积求解椭圆方程中b的值.【难易程度】中等【参考答案】3【试题解析】依题意，有121222212||||2||||18||||4PFPFaPFPFPFPFc，可得224364,ca即229,ac故有3b.10．在极坐标系中，由三条直线θ=0，π3，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于_________．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出直线的参数方程，转化为普通方程后求解直线与坐标轴所形成的三角形面积.【难易程度】容易【参考答案】334【试题解析】化为普通方程，分别为：y＝0，y＝3x，x＋y＝1，画出三条直线的图像如右图，（步骤1）可求得A（213，233），B（1,0），三角形AOB的面积为：233121＝334（步骤2）第10题图11．当102x剟时，不等式sinπx…kx恒成立．则实数k的取值范围是_________．【测量目标】不等式恒成立问题.【考查方式】给出x在一定区间内，不等式恒成立的关系式，利用图像得到k的范围.【难易程度】中等【参考答案】k„2【试题解析】设m=sinπx，n=kx，x∈[0，12]．根据题意画图得：m…n恒成立即要m的图像要在n图像的上面，当x=12时即πx=π2时相等，所以此时k=112=2，所以k„2，故答案为k„2.第11题图12．已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{an}满足an∈（π2,π2），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k=________时，f（ak）=0．【测量目标】函数的奇偶性.【考查方式】利用奇函数的性质及等差数列的性质求解综合性问题.【难易程度】中等【参考答案】14【试题解析】因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图像关于原点对称，图像过原点．（步骤1）而等差数列{an}有27项，an∈（π2,π2）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14.（步骤2）13．某地街道呈现东西、南北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）_________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【测量目标】两点间距离公式的应用.【考查方式】利用两点间的距离公式判断实际问题中的最短路线问题.【难易程度】中等【参考答案】（3，3）【试题解析】设发行站的位置为（x，y），零售点到发行站的距离为z，则z=2|x+2|+|y2|+2|x3|+|y1|+|y4|+|y3|+|x4|+|y5|+|x6|+|y6|，（步骤1）这六个点的横纵坐标的平均值为23324626，214356762，（步骤2）记A（2，27），画图可知发行站的位置应该在点A附近，代入附近的点的坐标进行比较可知，在（3，3）处z取得最小值.故答案为（3，3）．（步骤3）第13题图14．将函数2642xxy（x∈[0，6]）的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0„θ„α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值为_________．【测量目标】函数图像的性质.【考查方式】给出曲线函数解析式，通过围绕原点旋转，判断旋转角与函数关系式之间的关系.【难易程度】中等【参考答案】2arctan3【试题解析】先画出函数2642xxy（x∈[0，6]）的图像这是一个圆弧，圆心为M（3，2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图像∴∠MAB=2arctan3故答案为：2arctan3.第14题图二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．“2„a„2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】给出两个命题判断它们之间的关系．【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴=a24＜0，解得2＜a＜2，（步骤1）∴“2„a„2”是“2＜a＜2”的必要不充分条件，（步骤2）故选A．16．若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=14，则P（EIF）的值等于（）A．0B．116C．14D．12【测量目标】相互独立事件的概率乘法公式【考查方式】给出相互独立事件的概率，由相互独立事件的概率计算公式P（EIF）=P（E）•P（F），求解.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】PEFI＝1144PEPF＝116．故选B．17．有专业机构认为甲型H1N1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为6，中位数为8B．乙地：总体均值为5，总体方差为12C．丙地：中位数为5，众数为6D．丁地：总体均值为3，总体方差大于0【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】运用均值、中位数、众数、方差的数值特征对整体数字特征进行估计．【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…，x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=110[（165）2+（x25）2+（x35）2+…+（x105）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选B．18．过圆C：（x1）2+（y1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SI+SIV=SII+SⅢ则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条第18题图【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出已知圆方程，讨论过圆心把圆分割的面积成等量关系的直线的条数.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由已知，得：SIVSII=SⅢSI，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECFS扇形ECF=1π4和S扇形ECF=π4，所以，SIVSII为定值，即SⅢSI为定值，（步骤1）当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．（步骤2）故选B．三、解答题（共5小题，满分78分）19．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角111BACC的大小．第19题图【测量目标】向量在几何中的应用；二面角.【考查方式】给出直三棱柱棱长的长度及其之间的关系，求解直三棱柱中二面角的大小.【难易程度】中等【试题解析】如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1