6圆锥曲线中点弦、垂直平分线-中等难度-讲义

圆锥曲线中点弦垂直平分线知识讲解一、弦的垂直平分线问题1.垂直问题：一般是利用斜率公式及韦达定理求解，设11,Axy、22,Bxy是直线与曲线的两个交点，O为坐标原点，1）则OAOB12120xxyy，2）若00,Pxy,则APBP010201020xxxxyyyy2.弦中点问题：除利用韦达定理外，也可以运用“代点作差法”，但必须以直线与圆锥曲线相交为前提，否则不宜用此法.1）设椭圆或双曲线方程：221xymn上两点11,Axy，22,Bxy，AB的中点为00,Pxy，则0022ABynkxm3）掌握抛物线2(0)xmym上两点1122(,),(,)AxyBxy连线的斜率公式12ABxxkm3.设而不求法：解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”．设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点1122,,,AxyBxy,弦AB中点为00,Mxy，将点AB、坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法具体有：1）22221(0)xyabab与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)，则有00220xykab．2）22221(0,0)xyabab与直线l相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有00220xykab3）y2=2px（p0）与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x0,y0),则有2y0k=2p,即y0k=p.二、中点弦常考题型1.1||||PQABPBPAPQABkk设1122(,),(,)AxyBxy,注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,xx的,其它点不要随便设为1122(,),(,)AxyBxy.Q为弦AB的中点.设直线方程为ykxm,不要设为ykxb,因为b在椭圆标准方程中会出现.联立直线与椭圆方程22221ykxmxyab消去y,得2222()1xkxmab,即222222212()10kkmmxxabbbPQBAOyx设1122(,),(,)AxyBxy,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111kmkmmkbabbababkmbxxkabmbxxkab中的高次项是可消去的.21222221Qkmxxbxkab22222222222222222111QQkmkmmkmmbbabaykxmmkkkababab(由Qx求Qy分子是可消去的)故中点Q的坐标为22222222(,)11kmmbakkabab定点P设为(,)st，则222222222222222211()1()1QPQQmatkmktytabaabkkmxskmksbbabskab故222222221()11()mktaabkkmksbab，2222222211()()kmkkmkktsaabbab，22222111()()()kkmktsabab2.以,OAOB为邻边的平行四边形的顶点P在椭圆上1212,22QQxxyyxy易知P点坐标212222221PQkmbxxxxkab2212121222222()221PQkmbyyyykxmkxmkxxmmkab222222222222222211kmmkmmbabakkabab注意:①不能把Px代入ykxm方程中求Py,因为点P不在直线上.②由Px求Py分子是可消去的.故2222222222(,)11kmmbaPkkabab在椭圆上.则22222222222222()()111kmmbakkababab两边同时乘以22221()kab得yxQOPBA22222222222441()kmmkababab2222222241(1)()mkkabab3.弦AB的垂直平分线交,xy轴分别为点,NM中点Q的坐标为22222222(,)11kmmbakkabab垂直平分线方程为222222221()11mkmabyxkkkabab令0x,得到M点坐标为2222211()(0,)1mabkab令0y,得到N点坐标为2222211()(,0)1kmabkablOyxNMQBA经典例题一．选择题（共3小题）1．（2016秋•菏泽期末）若椭圆mx2+ny2=1与y=1﹣x交于A、B两点，过原点与线段AB中点连线的斜率为√2，则𝑚𝑛的值等于（）A．√2B．√22C．√3D．√33【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2），线段AB的中点M（x0，y0），由题意可得𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=𝑦0𝑥0=√2，𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=−1（1）因为A，B在椭圆上所以mx12+ny12=1，mx22+ny22=1两式相减可得m（x1﹣x2）（x1+x2）+n（y1﹣y2）（y1+y2）=0（2）（1）（2）联立可得𝑚𝑛=√2故选：A．2．（2015•黄冈模拟）阿基米德“平衡法”的中心思想是：要算一个未知量（图形的体积或面积），先将它分成许多微小的量（如面分成线段，体积分成薄片等），再用另一组微小单元来进行比较．如图，已知抛物线y=14x2，直线l：x﹣2y+4=0与抛物线交于A、C两点，弦AC的中点为D，过D作直线平行于抛物线的对称轴Oy，交抛物线于点B，则抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是（）A．34B．43C．23D．32【解答】解：联立{𝑦=14𝑥2𝑥−2𝑦+4=0，得x2﹣2x﹣8=0，解得：xA=﹣2，xC=4．则yA=1，yC=4．又弦AC的中点为D，∴𝑥𝐷=−2+42=1，则xB=1，𝑦𝐵=14．∴|𝐴𝐶|=√(4+2)2+(4−1)2=3√5．B到直线l的距离d=|1×1−2×14+4|√12+(−2)2=910√5．∴𝑆△=12×3√5×910√5=274．弓形ABCD的面积为：12(1+4)×6−∫−2414𝑥2𝑑𝑥=15−112𝑥3|−24=15−11243+112⋅(−2)3=9．∴抛物线弓形ABCD的面积与△ABC的面积之比是43．故选：B．3．（2015秋•牡丹江校级期中）抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠𝐴𝐹𝐵=2𝜋3，过线段AB的中点M作直线l的垂线，垂足为N，则|𝑀𝑁||𝐴𝐵|的最大值，是（）A．√34B．√33C．√32D．√3【解答】解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（𝑎+𝑏2）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣14（a+b）2=34（a+b）2得到|AB|≥√32（a+b）．∴|𝑀𝑁||𝐴𝐵|≤1212(𝑎+𝑏)√32(𝑎+𝑏)=√33，即|𝑀𝑁||𝐴𝐵|的最大值为√33．故选：B．二．填空题（共3小题）4．（2017秋•松山区校级期末）已知点（1，1）是椭圆𝑥24+𝑦22=1某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：x+2y﹣3=0．【解答】解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），∵A（1，1）为EF中点，∴x1+x2=2，y1+y2=2，把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆𝑥24+𝑦22=1，可得𝑥124+𝑦122=1，𝑥224+𝑦222=1两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴𝑘=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=﹣12∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣12（x﹣1），整理，得x+2y﹣3=0．故答案为：x+2y﹣3=0．5．（2016•美兰区校级模拟）已知m，n，s，t∈R+，m+n=2，𝑚𝑠+𝑛𝑡=9，其中m、n是常数，当s+t取最小值49时，m、n对应的点（m，n）是双曲线𝑥24−𝑦22=1一条弦的中点，则此弦所在的直线方程为x﹣2y+1=0．【解答】解：由已知得𝑠+𝑡=19(𝑠+𝑡)(𝑚𝑠+𝑛𝑡)=19(𝑚+𝑛+𝑚𝑡𝑠+𝑛𝑠𝑡)≥19(𝑚+𝑛+2√𝑚𝑛)=19(√𝑚+√𝑛)2，由于s+t的最小值是49，因此19(√𝑚+√𝑛)2=49，√𝑚+√𝑛=2，又m+n=2，所以m=n=1．设以点（m，n）为中点的弦的两个端点的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有𝑥1+𝑥22=𝑦1+𝑦22=1，即𝑥1+𝑥2=𝑦1+𝑦2=2①．又该两点在双曲线上，则有𝑥124−𝑦122=1，𝑥224−𝑦222=1，两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)4−(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)2=0②，把①代入②得𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=12，即所求直线的斜率是12，所求直线的方程是𝑦−1=12(𝑥−1)，即x﹣2y+1=0．故答案为x﹣2y+1=06．（2015秋•越城区校级期末）椭圆E：𝑥216+𝑦24=1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为x+2y﹣4=0．【解答】解：设所求直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则𝑥1216+𝑦124=1，𝑥2216+𝑦224=1．两式相减得(𝑥1+𝑥2)(𝑥1−𝑥2)16+(𝑦1+𝑦2)(𝑦1−𝑦2)4=0．又x1+x2=4，y1+y2=2，∴kAB=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=−12．因此所求直线方程为y﹣1=﹣12（x﹣2），即x+2y﹣4=0．故答案为：x+2y﹣4=0．三．解答题（共7小题）7．（2015秋•来宾期末）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线l方程；（Ⅱ）若点B（1，2），直线l过点B且与抛物线C交于P、Q两点，若点B为PQ中点，求直线l的方程．【解答】解：（I）由抛物线C：y2=2px（p＞0）过点A（2，﹣4），解得P=4．抛物线C的方程为y2=8x，其准线l方程为x=﹣2；（II）显然，直线l的斜率不存在或直线l的斜率为0均不符合题意，…（4分）故可设直线l的方程为y﹣2=k（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意可知：y12=8x1，y22=8x2，y12﹣y22=8x1﹣8x2，∴k=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=8𝑦1+𝑦2=2．所以，直线l的方程为2x﹣y=0．…（12分）8．（2018•泉州二模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）经过点（2，√2），离心率为√22．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）过E的左焦点F且斜率不为0的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为C，直线OC与直线x=﹣4相交于点D，若△ADF为等腰直角三角形，求l的方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得e=𝑐𝑎=√22，a2=b2+c2，4𝑎2+2𝑏2=1，解得b=c=2，a=2√2，所以E的方程为𝑥28+𝑦24=1；（Ⅱ）易得F（﹣2，0），可设直线l的方程为x=ky﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组x=ky﹣2和x2+2y2=8，消去x，整理得（k2+2）y