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第1页共5页OCBA1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO2，即证明PM•PC=PO2，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理NC=PC，只需证明PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.证明:过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=21PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴POPCPMPO即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•21PN，∴PM•PN=2PO2.【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.第2页共5页OCBAOCBA2．遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．（1）求证：BA·BM=BC·BN；（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。（1）证明：连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB∴△ACB∽△NMB∴BNABBMBC∴AB·BM=BC·BN（2）解：连结OM，则∠OMC=90°∵N为OC中点∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°∵OM=OB，∴∠B=21∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3．遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是5．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。BMNOCA第3页共5页【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．6．遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求证：DC是⊙O的切线.分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。第4页共5页【例8】如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；7．遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________8．遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．9．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。[课后冲浪]1．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．ABCDEPO..第5页共5页2．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径.3．已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切.4．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？5．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，求阴影部分的面积.我们可以把圆中常用辅助线的规律总结为如下歌诀：弦与弦心距，密切紧相连；直径对直角，圆心作半径；已知有两圆，常画连心线；.遇到相交圆，连接公共弦；遇到相切圆，作条公切线；“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间...ACBMNo