指数函数习题与答案

习题课——指数函数及其性质的应用一、A组1.函数f(x)=()在[-1,0]上的最大值是()A.-1B.0C.1D.3解析:函数f(x)=()在区间[-1,0]上是减函数,则最大值是f(-1)=()-=3.答案:D2.若()()-,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.()C.(-∞,1)D.(-)解析:∵函数y=()在R上为减函数,∴2a+13-2a,∴a.答案:B3.(2016·浙江乐清高一期末)函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是()A.(-∞,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,1]D.[0,+∞)解析:因为y=eu为增函数,u=|x-1|在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,所以由复合函数“同增异减”法则可知函数f(x)=e|x-1|的单调递减区间是(-∞,1].故选C.答案:C4.已知a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cabD.bca解析:∵31,00.21,∴a=30.2∈(1,3).∵b=0.2-3=()-=53=125,c=(-3)0.2=(-3√-0,∴bac.答案:B5.导学号29900082已知函数f(x)={-满足对任意x1≠x2,都有--0成立,则a的取值范围是()A.(]B.(0,1)C.[)D.(0,3)解析:由于函数f(x)={-满足对任意的x1≠x2,都有--0成立,所以该函数为R上的减函数,所以{-解得0a≤.答案:A6.已知指数函数f(x)=(1-2a)x,且f(3)f(2),则a的取值范围是.解析:∵f(x)是指数函数,且f(3)f(2),∴函数f(x)在R上是减函数,∴01-2a1,即02a1,∴a0.答案:(-∞,0)7.不等式3x+192x-1的解集为.解析:∵3x+192x-1,∴3x+132(2x-1),x+12(2x-1),∴x1.答案:{x|x1}8.一种专门占据内存的计算机病毒,开机时占据的内存为2KB,如果每3min自身复制一次,复制后所占据的内存是原来的2倍,那么开机后,该病毒占据64MB(1MB=210KB)内存需要经过的时间为min.解析:设开机tmin后,该病毒占据yKB内存,由题意,得y=2×.令y==64×210,又64×210=26×210=216,所以有+1=16,解得t=45.答案:459.若函数f(x)=ax-1(a0,且a=1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.解:当a1时,f(x)在区间[0,2]上单调递增,∴{即{--∴a=±√.又a1,∴a=√,当0a1时,f(x)在区间[0,2]上单调递减,∴{即{--a无解.综上所述,a=√.10.导学号29900083已知定义域为R的函数f(x)=-是奇函数.(1)求a的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围.解:(1)由R上的奇函数,有f(x)=-f(-x)⇔-=----对于任意实数x恒成立,解得a=2,此时f(x)=.(2)我们先证明f(x)=的单调性:任取x1,x2∈R,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=(-)-0.可见f(x)在R上单调递减.由此结合奇偶性,我们有f(t2-2t)+f(2t2-k)0,即f(t2-2t)f(k-2t2),∴t2-2tk-2t2,即3(-)-k0.要使上述不等式对t∈R恒成立,则需--k0,即k-.故k的取值范围为(--).二、B组1.若0x1,则2x,(),0.2x之间的大小关系是()A.2x0.2x()B.2x()0.2xC.()0.2x2xD.0.2x()2x解析:由指数函数的性质可知,当0x1时,2x20=1,()()=1,而y=0.2x与y=()在0x1时,y=0.2x在y=()图象的下方,故0.2x()2x.故选D.答案:D2.当a≠0时,函数y=ax+b和y=bax的图象只可能是()解析:由选项A可知,直线y=ax+b满足a0,b1,此时与y=bax是减函数相矛盾;由选项B可知,直线y=ax+b满足a0,0b1,此时函数y=bax为减函数,符合题意;由选项C可知,直线y=ax+b满足a0,b1,此时与函数y=bax是增函数相矛盾;由选项D可知,直线y=ax+b满足a0,0b1,此时与函数y=bax是减函数相矛盾.答案:B3.导学号29900084已知f(x)是定义在实数集R上的函数,满足条件:y=f(x+1)是偶函数,且当x≥1时,f(x)=5x,则f(),f(),f()的大小关系是()A.f()f()f()B.f()f()f()C.f()f()f()D.f()f()f()解析:∵y=f(x+1)是偶函数,∴y=f(x+1)的对称轴为x=0,∴y=f(x)的对称轴为x=1.又x≥1时,f(x)=5x,∴f(x)=5x在区间[1,+∞)上是增函数,∴f(x)在(-∞,1)上是减函数.∵f()=f(),且,∴f()f()f(),即f()f()f().答案:D4.若不等式a2xax-1的解集为{x|x-1},则实数a的取值范围是.解析:因为a2xax-1的解集为{x|x-1},即有2xx-1.所以a1.答案:(1,+∞)5.若函数f(x)=()-,则f(x)的单调递增区间是.解析:(方法一)由指数函数的性质可知f(x)=()在定义域上为减函数,故要求f(x)的单调递增区间,只需求y=|2x-3|的单调递减区间.因为y=|2x-3|的单调递减区间为(-],所以f(x)的单调递增区间为(-].(方法二)f(x)=()-{()--可画出f(x)的图象(图略),知其单调递增区间为(-].答案:(-]6.导学号29900085若函数y=()-+m的图象不经过第一象限,则m的取值范围是.解析:将函数y=()的图象向右平移1个单位长度得到函数y=()-的图象(如图所示),当m0时,将y=()-的图象向下平移|m|个单位长度就可以得到函数y=()-+m的图象.要使y=()-+m的图象不经过第一象限,则需m≤-2.答案:m≤-27.已知函数f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0时,f(x)0,f(1)=2.(1)求f(2),f(3)的值;(2)若f(x)在R上是增函数,且f(4x-a)+f(6+2x+1)6对任意的x恒成立,求实数a的取值范围.解:(1)由f(1)=2可得f(2)=f(1)+f(1)=2+2=4,f(3)=f(2)+f(1)=6.(2)f(4x-a)+f(6+2x+1)6恒成立,由已知及(1)知f(4x-a+6+2x+1)f(3)恒成立.∵f(x)在R上是增函数,∴4x-a+6+2x+13恒成立,即4x+2×2x+3a恒成立.令g(x)=4x+2×2x+3=(2x+1)2+2.∵2x0,∴g(x)3,∴a≤3.故a的取值范围是(-∞,3].8.导学号29900086(2016·山东济南一中高一期中)已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a0,a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的解析式;(2)若不等式()≥2m+1在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得{解得a=2,b=3,∴f(x)=3·2x.(2)设g(x)=()(),则y=g(x)在R上为减函数,∴当x≤1时g(x)min=g(1)=.∵()≥2m+1在x∈(-∞,1]上恒成立,∴g(x)min≥2m+1,即2m+1≤,∴m≤-.故实数m的取值范围为(--].