梁的强度计算(清华大学)

TSINGHUAUNIVERSITY第7章梁的强度计算第二篇材料力学工程力学TSINGHUAUNIVERSITY杆件承受垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的力偶作用时，其轴线将弯曲成曲线。这种受力与变形形式称为弯曲。主要承受弯曲的杆件称为梁。第7章梁的强度计算根据内力分析的结果，梁弯曲时，将在弯矩最大的横截面处发生失效。这种最容易发生失效的截面称为“危险截面”。但是，危险截面的哪一点最先发生失效？怎样才能保证梁不发生失效？这些就是本章所要讨论的问题。TSINGHUAUNIVERSITY第7章梁的强度计算要知道横截面上哪一点最先发生失效，必须知道横截面上的应力是怎样分布的。第5章中已经分析了梁承受弯曲时横截面上将有剪力和弯矩两个内力分量。与这两个内力分量相对应，横截面上将有连续分布的剪应力和正应力。第6章中所介绍的是应用平衡原理与平衡方法，确定梁的横截面上的剪力和弯矩。但是，剪力和弯矩只是横截面上分布剪应力与正应力的简化结果。怎样确定梁的横截面上的应力分布？TSINGHUAUNIVERSITY第7章梁的强度计算应力是不可见的，而变形却是可见的，而且应力与应变存在一定的关系。因此，为了确定应力分布，必须分析和研究梁的变形，必须研究材料应力与应变之间的关系，即必须涉及变形协调与应力－应变关系两个重要方面。二者与平衡原理一起组成分析弹性杆件应力分布的基本方法。绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关，剪应力的影响是次要的。本章将主要确定梁横截面上正应力以及与正应力有关的强度问题。TSINGHUAUNIVERSITY工程中的弯曲构件与应力分析相关的截面图形几何性质平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲正应力公式应用举例结论与讨论梁的强度计算斜弯曲弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力第7章梁的强度计算返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY返回工程中的弯曲构件第7章梁的强度计算返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:桥式吊车的大梁可以简化为两端饺支的简支梁。在起吊重量(集中力FP)及大梁自身重量(均布载荷q)的作用下,大梁将发生弯曲。TSINGHUAUNIVERSITY工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:石油、化工设备中各种直立式反应塔，底部与地面固定成一体，因此，可以简化为一端固定的悬臂梁。在风力载荷作用下，反应塔将发生弯曲变形。TSINGHUAUNIVERSITY工程中的弯曲构件工程中可以看作梁的杆件是很多的:火车轮轴支撑在铁轨上，铁轨对车轮的约束，可以看作铰链支座，因此，火车轮轴可以简化为两端外伸梁。由于轴自身重量与车厢以及车厢内装载的人货物的重量相比要小得多，可以忽略不计，因此，火车轮轴将发生弯曲变形。TSINGHUAUNIVERSITY返回与应力分析相关的截面图形几何性质第7章梁的强度计算返回总目录TSINGHUAUNIVERSITY讨论拉伸和压缩杆件横截面上应力时，根据拉伸和压缩时均匀变形的特点，推知杆件横截面上的正应力均匀分布，从而得到正应力表达式其中A为杆件的横截面面积。与应力分析相关的截面图形几何性质AFN当杆件横截面上，除了轴力以外还存在弯矩时，其上之应力不再是均匀分布的，这时得到的应力表达式，仍然与横截面上的内力分量以及横截面的几何量有关。但是，这时的几何量将不再是横截面的面积，而是其他的形式。TSINGHUAUNIVERSITY不同的分布内力系，组成不同的内力分量时，将产生不同的几何量。这些几何量不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。NxFANdxAAFzAxMyAdzzxCIMAzAyId2FNMzconst.xCyx与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY与应力分析相关的截面图形几何性质静矩、形心及其相互关系惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径惯性矩与惯性积的移轴定理惯性矩与惯性积的转轴定理主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩TSINGHUAUNIVERSITY静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAyAzSdzyOdAyzAzAySd图形对于y轴的静矩图形对于z轴的静矩静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYACyAzSzyOdAyzzyOzCCyCAyAzSdAzAySdCzAyS分力之矩之和合力之矩静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAAyASyAzCdCyAzSAyAzSdAzAySdCzAyS静矩与形心坐标之间的关系AAzASzAyCd已知静矩可以确定图形的形心坐标已知图形的形心坐标可以确定静矩静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。TSINGHUAUNIVERSITY静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断，例如：矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定形心位置的图形）；然后分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和。TSINGHUAUNIVERSITY对于组合图形niCiiCnnCCyniCiiCnnCCzzAzAzAzASyAyAyAyAS1221112211niiniCiiyCniiniCiizCAzAASzAyAASy1111静矩、形心及其相互关系与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2－图形对y轴的惯性矩－图形对z轴的惯性矩－图形对yz轴的惯性积－图形对O点的极惯性矩zyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAIiyyAIizz－图形对y轴的惯性半径－图形对z轴的惯性半径zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为m4。TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAyzAyIzdAzAyId2＞0＞0＞0＞0,＜0zyOdAyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAyAzId2AArId2PAzAyId2zyIIIPzyOdAyzrA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY已知：圆截面直径d求：Iy，Iz，IPrrAdπ2d64πdπ2214202drrrd4Pπ232yIdI202Pd212dzyArIIIdrdrdACyz惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径例题1解：取圆环微元面积与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY已知：矩形截面b×h求：Iy，IzCyzbhzdzdAydydA惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径解：取平行于x轴和y轴的微元面积ddAbyddAhz3222222dd12hhhhzbhIyAyby3222222dd12bbbbyhbIzAzhz例题2与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY移轴定理（parallel-axistheorem）是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知图形对于一对坐标的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标的惯性矩与惯性积。惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYAzyOdAyzO´y1=y＋az1=z＋b已知：Iy、Iz、Iyz求：Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211y1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYy1=y＋az1=z＋bAzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211AzyAzAyAbzayIAayIAbzIddd112121abAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122zyOdAO´yzy1z1ab惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYabAbSaSIIAaaSIIAbbSIIzyyzzyzzzyyy11212122如果y、z轴通过图形形心，上述各式中的Sy＝Sz＝0，abAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYabAIIAaIIAbIIyzzyzzyy112121●因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。●a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。惯性矩与惯性积的移轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY惯性矩与惯性积的转轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITY所谓转轴定理（rotation-axistheorem）是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。惯性矩与惯性积的转轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYzyOsincossincos11zyyyzzdAyzy1z1已知：Iy、Iz、Iyz、求：Iy1、Iz1、Iy1z1AzyAzAyAzyIAyIAzIddd1111211211惯性矩与惯性积的转轴定理与应力分析相关的截面图形几何性质TSINGHUAUNIVERSITYsincossincos11zyyyzzzyOdAyzy1z1AzyAzAyAzyIAyIA