等时圆模型(最新最全)

1“等时圆”模型的规律及应用一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。（如图a）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。（如图b）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）自由落体的时间，即gRgRgdt2420（式中R为圆的半径。）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为singa，位移为sinds，所以运动时间为gdgdast2sinsin220即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定图a图b2【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB滑至斜坡底部，又知OB=L。求小环从A滑到B的时间。【解析】：可以以O为圆心，以L为半径画一个圆。根据“等时圆”的规律可知，从A滑到B的时间等于从A点沿直径到底端D的时间，所以有gLgLgdttADAB242例3：如图5所示，在同一竖直线上有A、B两点，相距为h，B点离地高度为H，现在要在地面上寻找一点P，使得从A、B两点分别向点P安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A和B沿木板下滑到P点的时间相等，求O、P两点之间的距离OP。解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆周上，且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。如图6所示，此时等时圆的半径为：12hROPH所以22()()2hOPRHHh例4：如图7，AB是一倾角为θ的输送带，P处为原料输入口，为避免粉尘飞扬，在P与AB输送带间建立一管道（假使光滑），使原料从P处以最短的时间到达输送带上，则管道与竖直方向的夹角应为多大？解析：借助“等时圆”，可以过P点的竖直线为半径作圆，要求该圆与输送带AB相切，如图所示，C为切点，O为圆心。显然，沿着PC弦建立管道，原料从P处到达C点处的时间与沿其他弦到达“等时圆”的圆周上所用时间相等。因而，要使原料从P处到达输送带上所OABLLD图2ABPHhO图5图6ABPHhOO1AθB图7PPAθB图8CO3用时间最短，需沿着PC建立管道。由几何关系可得：PC与竖直方向间的夹角等于θ/2。三、“形似质异”问题的区分1、还是如图1的圆周，如果各条轨道不光滑，它们的摩擦因数均为μ，小滑环分别从a、b、c处释放（初速为0）到达圆环底部的时间还等不等？解析：bd的长为2Rcosθ，bd面上物体下滑的加速度为a=gcosθ-μgsinθ，tbd=sincoscos4ggR=2tanggR。可见t与θ有关。2、如图9，圆柱体的仓库内有三块长度不同的滑板aO、bO、cO，其下端都固定于底部圆心O，而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、c处开始下滑（忽略阻力），则（）A、a处小孩最先到O点B、b处小孩最先到O点C、c处小孩最先到O点D、a、c处小孩同时到O点解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底面半径为R，则cosR=21gsinθt2，t2=2sin4gR，当θ=450时，t最小，当θ=300和600时，sin2θ的值相等。例3：如图3，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（2L）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？【解析】：cosL=21gsinθt2，t2=2sin4gL，当θ=450时，t最小训练1、如图所示,oa、ob、oc是竖直面内三根固定的光滑细杆,O、a、b、c、d位于同一圆周上,d点为圆周的最高点,c点为最低点.每根杆上都套着一个小滑环(图中未画出),三个滑环都从o点无初速释放,用、、依次表示滑环到达a、b、c所用的时间,则()θaObc图34A.B.C.D.答案详解D解:以O点为最高点,取合适的竖直直径oe作等时圆,交ob于b,如图所示,显然o到f、b、g、e才是等时的,比较图示位移,,故推得,选项ABC错误,D正确.2、身体素质拓展训练中，人从竖直墙壁的顶点A沿光滑杆自由下滑倾斜的木板上（人可看做质点），若木板的倾斜角不同，人沿着三条不同路径AB、AC、AD滑到木板上的时间分别为t1、t2、t3，若已知AB、AC、AD与板的夹角分别为70°、90°和105°，则（）A.t1t2t3B.t1t2t3C.t1=t2=t3D.不能确定t1、t2、t3之间的关系解析：若以OA为直径画圆，如图，则AB交圆周与E点，C点正好在圆周上，D点在圆周之内，AD的延长线交圆周与F点，设AC与AO的夹角为α，根据牛顿第二定律得人做初速为零的匀加速直线运动的加速度为：a=gcosα由图中的直角三角形可知，人的位移为：S=AOcosα则可知人从A到C得时间为：5，可知与斜面的倾角无关，即人从A带你滑到ECF的时间是相等的，则可知人从A点滑到BCD的时间关系t1t2t3，故A正确；故选：A3、竖直正方形框内有三条光滑轨道OB、OC和OD，三轨道交于O点，且与水平方向的夹角分别为30o、45o和60o。现将甲、乙、丙三个可视为质点的小球同时从O点静止释放，分别沿OB、OC和OD运动到达斜面底端。则三小球到达斜面底端的先后次序是A.甲、乙、丙B.丙、乙、甲C.甲、丙同时到达，乙后到达D.不能确定三者到达的顺序4、如图所示,地面上有一固定的球面,球半径为R,球面的斜上方P处有一质点(P与球心O在同一竖直平面内).已知P到球心O的距离为L,P到地面的垂直距离为H,现要使此质点从静止开始沿一光滑斜直轨道在最短时间内滑到球面上,求所需的最短时间.解:(1)求证:如图所示小球从竖直平面的半径为R'的圆的顶点,沿光滑轨道运动到任何方向圆外边缘,6任取一条轨道PQ,PQ与水平面的夹角为,由三角关系得PQ的长度为:由牛顿第二定律得,沿光滑斜面下滑的加速度为:由位移时间公式得,运动时间:即运动时间与角度无关,故对应任何轨道的时间均相同.(2)作图:以P为顶点作一半径为r的球面,使其与所给球面相切与Q,如图所示:由(1)可以知道右上圆内从P点到圆的外边缘的时间是相同的,故、用时均长于PQ用时,则线段PQ即为所求的用时最短的轨道.(3)解题:把上图转化如下:7,由三角关系得:联立以上两式计算得出:由(1)知,运动时间:答:所需的最短时间为.