最全高中三角函数总结

1三角函数做题技巧与方法总结知识点梳理1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx2、三角函数的单调区间：xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，xytan的递增区间是22kk，)(Zk，3、三角函数的诱导公式sin（2kπ+α）=sinαsin（π+α）=－sinαsin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosαcos（π+α）=－cosαcos（－α）=cosα2tan（2kπ+α）=tanαtan（π+α）=tanαtan（－α）=－tanαsin（π－α）=sinαsin（π/2+α）=cosαsin（π/2－α）=cosαcos（π－α）=－cosαcos（π/2+α）=－sinαcos（π/2－α）=sinαtan（π－α）=－tanαtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαsin2(α)+cos2(α)=14、两角和差公式5、二倍角的正弦、余弦和正切公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin2α=2sinαcosαsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos2α=cos2(α)－sin2(α)=2cos2(α)－1=1－2sin2(α)cos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβtan2α=2tanα/(1－tan2(α))cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα·tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)6、半角公式：2cos12sin；2cos12cos；sincos1cos1sincos1cos12tan7、函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，周期是2T；其图象的对称轴是直线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心8、由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。3利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0）平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。9、对称轴与对称中心：sinyx的对称轴为2xk，对称中心为(,0)kkZ；cosyx的对称轴为xk，对称中心为2(,0)k；对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。10、求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；11、求三角函数的周期的常用方法：经过恒等变形化成“sin()yAx、cos()yAx”的形式，在利用周期公式，另外还有图像法和定义法。12、经常使用的公式①升（降）幂公式：21cos2sin2、21cos2cos2、1sincossin22；②辅助角公式：422sincossin()abab（由,ab具体的值确定）；二、典型例题弦切互化例1．已知2tan，求（1）sincossincos；解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；练习：22cos2cos.sinsin的值.解：222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。函数的定义域问题例2、求函数1sin2xy的定义域。解：由题意知需01sin2x，也即需21sinx①在一周期23,2上符合①的角为67,6,由此可得到函数的定义域为672,62kkZk说明：确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如1,0logaaxfya的函数，则其定义域由xf确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法等，而三角函数是函数的5特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。例3、求下列函数的值域（1）xy2sin23（2）2sin2cos2xyx分析：利用1cosx与1sinx进行求解。解：（1）12sin1x5,151yy（2）.0,4,1sin11sin1sin2sin2sin2222cosyxxxxxxy说明：练习：求函数21sincos(sincos)yxxxx的值域。解：设sincos2sin()[22]4πtxxx，，则原函数可化为22131()24yttt，因为[22]t，，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3[32]4y，。（2）函数的最大值与最小值。求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。例4、求下列函数的最大值与最小值（1）xysin211（2）4sin5cos22xxy（3）32,31cos4cos32xxxy分析：（1）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（2）（3）可利用二次函数cbxaxxf2)(在闭区间nm,上求最值得方法。解：(1)6221sin;261sin1sin11sin10sin211minmaxyxyxxxx时当时，当(2)222592cos5sin42sin5sin22sin,sin1,1,48yxxxxxx当sin1x，即2(2xkkZ）时，y有最小值9；当sin1x，即2(2xkkZ），y有最大值1。（3）413,21cos415y32,21cos,21,21cos,32,3,31)32(cos31cos4cos3minmax22yxxxxxxxxxy时，即当时，、即从而函数的周期性例5、求下列函数的周期xxf2cos)(1)62sin(2)(2xxf分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1）把x2看成是一个新的变量u，那么ucos的最小正周期是2，就是说，当2uu增加到且必须增加到2u时，函数ucos的值重复出现，而),(2222xxu所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，xy2sin的周期是。（2）62sin2)262sin(2xx即)62sin(26421sin2xx)62sin(2)(xxf的周期是4。说明：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数)sin(xAy或)cos(xAy（其中,,A为常数，),0,0RxA的周期2T。例6、已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，。7求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx2sin22cos222sin(2)4πxxx所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；函数的奇偶性例7、判断下列函数的奇偶性)sin()()1(xxxfxxxxfsin1cossin1)()2(2分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称是偶函数。)()(sin)sin()()(,sin)sin()(xfxfxxxxxfxxxxxf（2）函数应满足.,2320sin1ZkkxRxxx，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(xf是否等于)(xf或)(xf，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。练习：已知函数)(,2cossin8cos23)(42xfxxxxf求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域.解：xxxxxxxf2cossin8sin212cossin8)sin1(23)(42428)9.()(),()(,)()7}.(,42,|{,42,22,02cos)4(.1sin42cos)sin21)(sin41(222分是偶函数且的定义域关于原点对称因为分且所以函数的定义域为解得得由分xfxfxfxfzkkxRxxzkkxkxxxxxx)12(}.3,51|{)(,42,1sin4)(2分且的值域为且又yyyxfzkkxxxf函数的单调性例8、下列函数，在,2上是增函数的是（）xyAsin.xyBcosxyC2sinxyD2cos分析：判断。在各象限的单调性作出与可根据xxxxcossin.22,2