双曲线的方程

要点梳理1.双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2（|F1F2|=2c＞0）的距离之差的绝对值为常数2a（2a＜2c），则点P的轨迹叫.这两个定点叫双曲线的，两焦点间的距离叫.集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a}，|F1F2|=2c，其中a、c为常数且a＞0,c＞0：§9.6双曲线基础知识自主学习双曲线焦距（1）当时，P点的轨迹是；（2）当时，P点的轨迹是；（3）当时，P点不存在.a＜ca=ca＞c焦点双曲线两条射线2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（-a,0）,A2(a,0)顶点坐标：A1（0,-a）,A2(0,a)渐近线离心率实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|=2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长.a、b、c的关系Ryaxax,或ayayx或,Rxabyxbay22),,1(,baceace其中)0,0(222bcacbac基础自测1.双曲线方程：那么k的范围是（）A.k＞5B.2＜k＜5C.-2＜k＜2D.-2＜k＜2或k＞5解析由题意知（|k|-2）（5-k）＜0，解得-2＜k＜2或k＞5.,15222kykxD2.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A.B.C.D.解析由题知c=4,且=2,∴a=2,∴b2=c2-a2=12,∴双曲线方程为112422yx141222yx161022yx110622yxAac.112422yx3.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7,F2是双曲线的右焦点,则△PF2Q的周长是（）A.28B.14-8C.14+8D.8解析|PF2|+|PQ|+|QF2|=（2a+|PF1|）+|PQ|+（2a+|QF1|）=4a+2|PQ|=8+14.222C24.（2009·安徽理，3）下列曲线中离心率为的是（）A.B.C.D.解析∵e=,∴e2=.即∴故B选项正确.26B14222yx12422yx110422yx16422yx2623.2322ac.21.2322222ababa5.若m＞0,点在双曲线上，则点P到该双曲线左焦点的距离为.解析在双曲线上,且m＞0,代入双曲线方程解得m=3,双曲线左焦点F1(-3,0),故|PF1|=25,mP15422yx21325,mP15422yx.213025)33(22题型一双曲线的定义【例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件，结合双曲线定义求解.思维启迪题型分类深度剖析解设动圆M的半径为r，则由已知|MC1|=r+，|MC2|=r-，∴|MC1|-|MC2|=2.又C1（-4，0），C2（4，0），∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(-4，0)、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.∵a=，c=4，∴b2=c2-a2=14，∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.22214222yx222探究提高求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性.知能迁移1已知点P是双曲线=1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|=.2222byax解析根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等,|F1M|-|F2M|=|PF1|-|PF2|=2a，又|F1M|+|F2M|=2c，解得|F1M|=a+c，|F2M|=c-a，从而|F1M|·|F2M|=c2-a2=b2.答案b2题型二双曲线的标准方程【例2】已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.（1）若双曲线经过P（,2）,求双曲线方程；（2）若双曲线的焦距是2，求双曲线方程；（3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程.用定义法或待定系数法求方程.解方法一由双曲线的渐近线方程y=±x，可设双曲线方程为613思维启迪32).0(4922yx（1）∵双曲线过点P（，2），故所求双曲线方程为（2）若＞0，则a2=9,b2=4.c2=a2+b2=13.由题设2c=2,∴=1,所求双曲线方程为若＜0，则a2=-4,b2=-9,c2=a2+b2=-13.6,31,4496.1314322xy13.14922yx由2c=2,∴=-1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3）若＞0，则a2=9,由题设2a=6,∴=1.所求双曲线方程为若＜0，则a2=-4,由题设2a=6,∴=-，所求双曲线方程为故所求双曲线方程为13.19422xy.1941492222xyyx或,14922yx49.181491492222xyyx或.1814922xy方法二（1）由双曲线渐近线的方程y=±x,可设双曲线方程为（mn＞0）.∵双曲线过点P（，2），∴m＜0,n＜0.又渐近线斜率k=±,故所求双曲线方程为32122nymx632,343,32146nmmnnm解得.1314322xy（2）设双曲线方程为∵c2=a2+b2，∴13=a2+b2,由渐近线斜率得∴所求双曲线方程为).0,0(1122222222babxaybyax或,3232baab或.9449.1332133222222222bababababaab或解得或故.1941492222xyyx或（3）由（2）所设方程故所求双曲线方程为.29323,62326232babaabaaab或解得或可得.181491492222xyyx或探究提高待定系数法是求曲线方程最常用的方法之一.（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可表示为（2）若双曲线的渐近线方程是y=±x,则双曲线的方程可表示为（3）与双曲线共焦点的双曲线方程可表示为12222byax).0(2222ttbyaxab);0(2222ttbyax12222byax);(1222222akbkbykax（4）过两个已知点的双曲线的标准方程表示为（5）与椭圆有共同焦点的双曲线方程表示为利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化解题过程，提高解题速度.);0(122mnnymx)0(12222babyax).(1222222abbyax知能迁移2根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1）与双曲线有共同的渐近线，且过点（-3，2）；（2）与双曲线有公共焦点，且过点（3，2）.116922yx3141622yx2解（1）设所求双曲线方程为将点（-3,2）代入得所以双曲线方程为(2)设双曲线方程为由题意易求c=2.又双曲线过点（3，2）,∴又∵a2+b2=（2）2，∴a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为),0(16922yx3,41,4116922yx.149422yx即.12222byax52.14)23(222ba5.181222yx题型三双曲线的性质【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|=2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.13思维启迪设椭圆方程为双曲线方程为),0(12222babyax)0,0(12222nmnymx分别求a，b，m，n的值利用椭圆与双曲线定义及余弦定理求得cos∠F1PF2解（1）由已知：c=,设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m、n，解得a=7,m=3.∴b=6，n=2.∴椭圆方程为双曲线方程为13,1331374mama则,1364922yx.14922yx（2）不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|+|PF2|=14，|PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10，|PF2|=4.又|F1F2|=2，∴cos∠F1PF2=132122222121PFPFFFPFPF.544102)132(410222探究提高在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e＞1.ac知能迁移3已知双曲线的方程是16x2-9y2=144.（1）求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|·|PF2|=32,求∠F1PF2的大小.解（1）由16x2-9y2=144,得∴a=3,b=4,c=5.焦点坐标F1(-5，0),F2(5，0),离心率e=,渐近线方程为y=±x.,116922yx3534（2）||PF1|-|PF2||=6，cos∠F1PF2=∴∠F1PF2=90°.2122222121PFPFFFPFPF.064100643622)(2122121221PFPFFFPFPFPFPF题型四直线与双曲线的位置关系【例4】(12分)已知双曲线C:的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定的范围,使·=0,其中点O为坐标原点.直线方程与双曲线方程联立，寻找交点坐标的关系.)10(1122yxOMON思维启迪解设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0），①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，设M（1，y0），N（1，-y0）（y0＞0），由·=0，得y0=1，∴M（1，1），N（1，-1）.又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上，因为0＜＜1,所以4分OMON,251,01,11112.215②当MN不垂直于x轴时,设MN的方程为y=k(x-1).得［-(1-)k2］x2+2(1-)k2x-(1-)·(k2+)=0,8分由题意知：-(1-)k2≠0,所以x1+x2=x1x2=于是y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=10分,)1(1122xkyyx由,)1()1(222kk,)1())(1(22kk,)1(222kk因为·=0,且M、N在双曲线右支上，由①②，知12分OMON.322150111)1(11)1(0002222221212121kkxxxxyyxx所以.32215探究提高（1）直线与双曲线的位置关系与直线与椭圆的位置关系有类似的处理方法，但要注意联立后得到的一元二次方程的二次项系数能否为零.(2)当涉及直线与