求动点的轨迹方程(方法例题习题答案)

求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x,y）满足的关系式。1.直接法（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系；（2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：122yx，动点M到圆C的切线长等与MQ，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。依题意：MNMQ，即22MNMQ而222NOMOMN,所以122MOMQ(x-2)2+y2=x2+y2-1化简得：x=45。动点M的轨迹是一条直线。2.定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。例题：动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：0822xyx相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r。若圆M与圆C相外切，则有∣MC∣=r＋4若圆M与圆C相内切，则有∣MC∣=r-4而∣MP∣=r,所以∣MC∣-∣MP∣=±4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,c=4。动点的轨迹方程为：112422yx3.相关点法若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆22:(1)4Cxy上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。解：设M(x,y),A(BAyx,),依题意有：x=24Ax,y=23Ay则：xA=2x-4,yA=2y-3,因为点A(BAyx,)在圆22:(1)4Cxy上，所以4)32()42(22yx点M的轨迹方程为：1)()2(2232yx动点M的轨迹为以（2,23）为圆心，1为半径的圆。4.参数法例题：已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且MNAN,点P在直线MN上，MPNP23。求动点P的轨迹C的方程。解：设N(0,t),P(x,y)直线AN的斜率3tkAM，因为MNAN，所以直线MN的斜率tkMN3直线MN的方程为y-t=xt3,令y=0得x=32t,所以点M(32t,0)),(tyxNP,),3(2ytxMP由MPNP23,得x=3(232tx),y-t=y23,则tytx22所以动点P的轨迹方程为：xy425.交轨法例题：如图，在矩形ABCD中，8,4,,,,ABBCEFGH分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设)0(,CFCQOFOP。求直线EP与GQ的交点M的轨迹的方程。解：设(,)Mxy，由已知得(4,0),(4,22)PQ，则直线EP的方程为22xy，直线GQ的方程为22xy，即y+2=2xy-2=-2x两式相乘，消去即得M的轨迹的方程为221(0)164xyx．yxoMQPHGFEDCBA练习与答案1.设圆C与圆x2+（y.3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为AA．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆2.已知圆221:(4)25Mxy，圆222:(4)1Mxy，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。(x0)3.过点A(4，0)作圆O∶x2+y2=4的割线，求割线被圆O截得弦的中点的轨迹。(x-2)2+y2=4(0≤x1)4.已知圆C：2)3(x+(y-4)2=1,动点P是圆外一点，过P作圆C的切线，切点为M，且︱PM︱=︱PO︱（O为坐标原点）。求动点P的轨迹方程。提示：︱PO︱2=︱PM︱2=12PC3x+4y-12=05.已知圆221:(4)1Cxy，圆222:(2)1Cxy，动点P到圆1C,2C上点的距离的最小值相等.求点P的轨迹方程。解：动点P到圆C1的最短距离为︱PC1︱-1,动点P到圆C2的最短距离为︱PC2︱-1,依题意有：︱PC1︱-1=︱PC2︱-1，即︱PC1︱=︱PC2︱所以动点P的轨迹为线段C1C2的中垂线。所以动点P的轨迹方程为：2x+y-5=06.已知双曲线2212xy的左、右顶点分别为12,AA,点P（12,xy），Q（12,xy）是双曲线上不同的两个动点。求直线1AP与2AQ交点的轨迹E的方程。解：由12,AA为双曲线的左右顶点知，12(2,0),(2,0),AA111:(2)2yAPyxx，121:(2)2yAQyxx，两式相乘222121(2)2yyxx，因为点11(,)Pxy在双曲线上，所以221112xy，即2121122yx，故221(2)2yx，所以2212xy，即直线1AP与2AQ交点的轨迹E的方程为2212xy7.已知曲线2:Cyx与直线:20lxy交于两点(,)AAAxy和(,)BBBxy，且ABxx．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点(,)Pst是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的112422yx中点M的轨迹方程。解：（1）联立2xy与2xy得2,1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则225,221tysx，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则22121x，即4541x，∴中点M的轨迹方程为8112xxy（4541x）.8.已知点C（1，0），点A、B是⊙O：229xy上任意两个不同的点，且满足0BCAC，设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。解：连结CP，由0ACBC，知AC⊥BC∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝1||2AB，由垂径定理知222||||||OPAPOA即22||||9OPCP设点P（x，y），有2222()[(1)]9xyxy化简，得到224xxy。9.设椭圆1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于A、B，O为坐标原点，点P满足)(21OBOAOP，当l绕着M旋转时，求动点P的轨迹方程。解：直线l过点)1,0(M，设其斜率为k，则直线l的方程为1kxy，记),(11yxA，),(22yxB，由题设可得点A、B的坐标),(11yx),(22yx是方程组14122yxkxy的解，其方程组中消取y得032)4(22kxxk∴2212214842kyykkxx∵)(21OBOAOP∴点P的坐标为)2,2(2121yyxx即：点P为)44,4(22kkk，设点P为),(yx，则P点的轨迹参数方程为22444kykkx（k为参数）消去参数k得：0422yyx当斜率k不存在时，A、B的中为原点（0，0）也满足上述方程，故：动点P的轨迹方程为0422yyx。10.设圆C与两圆2222(5)4,(5)4xyxy中的一个内切，另一个外切。求圆C的圆心轨迹L的方程。解：两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为1(5,0)F、2(5,0)F，由题意得12||2||2RCFCF或21||2||2RCFCF，1212||||||425||CFCFFF，可知圆心C的轨迹是以12,FF为焦点的双曲线，设方程为22221xyab，则22224,2,5,1,1aacbcab，所以轨迹L的方程为2214xy．11.如图所示，已知P（4，0）是圆3622yx内的一点。A、B是圆上两动点，且满足090APB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设R(x,y),依题意，有｜OR｜2+｜RA｜2=36,而｜RA｜=｜RP｜,所以｜OR｜2+｜RP｜2=36,即36)4(2222yxyx化简得：14)2(22yx设Q(X,Y),因为R(x,y)是QP的中点，所以有x=24X,y=2Y,故14)2()224(22YX化简得：X5622Y12.在平面直角坐标系xOy中，直线:2lx交x轴于点A，设P是l上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP。当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程。解：如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，,,||||.MPQAOPMPlMOMP且因此22|2|,xyx即24(1)(1).yxx①另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，.MPQMOQ又,.MPQAOPMOQAOP因此M在x轴上，此时，记M的坐标为(,0).x为分析(,0)Mxx中的变化范围，设(2,)Pa为l上任意点().aR由||||MOMP（即22||(2)xxa）得，2111.4xa故(,0)Mx的轨迹方程为0,1yx②综合①和②得，点M轨迹E的方程为24(1),1,0,1.xxyx13.点M是椭圆2214yx上的动点。如图，点A的坐标为(1,0)，B是圆221xy上的点，N是点M在x轴上的射影，点Q满足条件：ONOMOQ，QABA=0,求线段QB的中点P的轨迹方程；解：设M(,),(,)mmBBxyBxy(,)QQQxy.因为(,0),NNxOMONOQ，故2,,QNQMxxyy222(2)4yQQMxyxy①因为0,QABA(1)(1)(1)(1)0,QQNnQNQNxyxyxxyy所以1QNQNNQxxyyxx.②记P点的坐标为(,)PPxy，因为P是BQ的中点，所以2,2PQPPQPxxxyyy由因为221NNxy，结合①，②得22221(()())4PPQNQNxyxxyyw.w.w.k.s.5.u.c.o.m22221(2())4QNQnQNQNxxyyxxyy1(52(1))4QNxx34Px故动点P的轨迹方程为（x-1)2221y。