结构力学第十一讲剖析

基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载作用下内力的计算。主要内容：﹡位移法的基本概念﹡等截面直杆的形常数和载常数﹡位移法的基本未知量和基本体系﹡位移法方程﹡位移法计算连续梁和刚架力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法——以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。位移法——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）力法----有六个未知量。位移法----用结点位移作未知量，只有一个未知量。11.1位移法的基本概念位移法是计算超静定结构的基本方法之一。F1Pql2/12ql2/121221qlFPθAF11AlEI4AlEI2AlEI2AlEI4lEIlEIAA440128021111qllEIFFFAPEIqlA9635ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACθAqABCAlEI4AlEI2AlEI2AlEI4ABCθA4iF11θAABCql2/24位移法要点：（1）位移法的基本未知量是结点位移；（3）位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的过程分为两步：A.把结构拆成杆件，进行杆件分析；B.再把杆件综合成结构，进行整体分析；（5）杆件分析是结构分析的基础。（2）位移法的基本结构----单跨梁系.一、杆端力和杆端位移的正负规定根据力法求解：i=EI/l二、形常数iMiMBAAB2,411.2等截面直杆的形常数、载常数1.杆端转角、杆两端相对位移Δ以顺时针为正。2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；杆端剪力以使作用截面顺时针转动为正号。形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数:由跨中荷载引起的固端力ΔθAθBMABQBAMBAQABMAB0MBA04i2iM1由单位杆端位移引起的形常数单跨超静定梁简图MABMBAQAB=QBA4i2iθ=1ABAB1212lili6li6li6AB10li3ABθ=13i023liABθ=1i-i0li3由跨间荷载引起的载常数单跨超静定梁简图mABmBAAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q212ql212qlABP8Pl8PlAB↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q28qlABl/2l/2P316Pl0011.3位移法基本未知量和基本体系一、位移法基本未知量独立的结点位移：包括角位移和线位移1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)基本未知量为所有刚结点的转角1212.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)123结点角位移数：独立结点线位移数：刚结点的数目铰结体系的自由度基本结构:增加附加约束（刚臂、链杆）后,使得原结构的结点不能发生位移的结构。基本体系：把基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的体系，称为原结构的基本体系。原结构q基本结构基本体系q12基本体系q12二、基本体系角位移举例：B、C两个刚结点，有两个角位移。B为组合结点，它的左右各有一个刚结点，有两个角位移。CD外伸部分是静定的可以去掉。图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成几何不变体系（图b所示），有两个线位移。线位移举例：16结点转角的数目：7个123独立结点线位移的数目：3个结点转角的数目：3个独立结点线位移的数目：2个17分析:(1)铰处的转角不作基本未知量。(2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。aΔ(3)结构带无限刚性梁时，若柱子平行，则梁端结点转角为0，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。（4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。ABCDEΔΔ18Δ1Δ1Δ2F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21×Δ1k11k22k12位移法基本体系0022221211212111PPFkkFkkF1=0F2=0•k11、k21──基本体系在Δ1=1单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•k12、k22──基本体系在Δ2=1单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；•F1P、F2P──基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力。位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。11.4位移法典型方程×Δ2Δ1Δ1Δ2Δ1=1Δ1Δ2=11900022112222212111212111nPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkn个结点位移的位移法典型方程•主系数kii──基本体系在Δi=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；•付系数kij=kji──基本体系在Δj=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；•自由项FiP──基本体系在荷载单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。2016.7211.57901111PFk15159F1P159F1P=15－9=6Δ1=12i4i3ik114i3ik11=4i+3i=7iikFP76111130M图(kN.m)11.5711.57∑MB=0MPM111.5位移法计算连续梁及无侧移刚架20kNii2kN/mABC3m3m6mABC2kN/m20kNABCABCF1Pk11214I4I5I3I3I例1：作图示刚架弯矩图基本未知量（1）取基本体系BCqlm125201222CBmkNm.7.41mkN.7.41CB21,F1P=40－41.7=－1.70022221211212111PPFkkFkk（2）列位移法方程（3）画MP、Mi图;求kij、FiPMPF2P=41.75m4m4m4m2mCABDEF20kN/m20kN/mCABDEF2基本体系14041.741.7CABDEFmkN408420822qlmBAi=1110.750.522M13i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3i=10ik21=2iCABDEFCABDEFM23i4i2i2iik22=4i+3i+2i=9ik21=2i23（4）解方程，求基本未知量。07.419207.12102121iiiiii/89.4/15.12143.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)B46.943.53.40BMC14.724.59.80CMCABDEF24练习1：用位移法计算图示结构。EI=常数。解：（1）有两个基本未知量，基本体系如图（2）位移法方程0022221211212111PPFkkFkk基本体系25（3）计算系数项iiik84411ik221iiiik83422ik212lEIi取4i2i4i2i2i3i4i图1M图2Mi26(4)计算自由项221qlFP163163832222qlqlqlFP(5)代入位移法方程，得0163820228222221qliiqlii解得：iqliql120480292221图PM27(6)作弯矩图PMMMM2211图M28Δ2Δ2Δ1F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk12k22乘Δ2k11k21乘Δ1002222121212121111PPFkkFFkkFF1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k2144MPF1P04F1P=4F2P=－662ql0F2P4i2i6i6i4ik11ii5.146k11=10ik21=－1.5iM1k1201.5i43i163ik21k22M2k12=－1.5ik21=15i/161.5i1.5i0.75i11.6位移法计算有侧移刚架3kN/m2iii8m4m3kN/mΔ1=1Δ2Δ13kN/mΔ2=12913.624.425.69M图(kN.m)0616155.1045.1102121iiii解得:Δ1=0.737/i，Δ2=7.58/iPMMMM22111叠加弯矩图位移法求解过程:1)确定基本体系和基本未知量2)建立位移法方程3)作单位弯矩图和荷载弯矩图4)求系数和自由项5)解方程6)作弯矩图30例2.试用位移法分析图示刚架。（1）基本未知量（2）基本体系计算杆件线性刚度i，设EI0=1，则1440IElEIiABABAB21,43,1,1CFBECDBCiiii4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0Δ1Δ2Δ3Δ1、Δ2、Δ331Δ1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3）位移法方程k111+k122+k133+F1P=0k211+k222+k233+F2P=0k311+k322+k333+F3P=0（4）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2Δ2=134221k22=4+3+2=9k23=k32=?32Δ3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13=–9/8k32=k23=–1/2（5）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8)×20×42=40(1/12)×20×52=41.7F1P=40–41.7=–1.7F2P=41.7F3P=033（6）建立位移法基本方程：04835218907.41219207.189210321321321（7）解方程求结点位移：（8）绘制弯矩图PMMMM221194.194.494.0321ABCDFEM图（kN•m）18.642.847.826.723.814.953.68.93.97（9）校核结点及局部杆件的静力平衡条件的校核。34力法、位移法对比基本未知量：多余约束力基本结构：一般为静定结构。作单位和外因内力图由内力图自乘、互乘求系数，主系数恒正。建立力法方程（协调）基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系作单位和外因内力图由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。建立位移法方程（平衡）0FK0X解方程求多余未知力叠加作内力图用变形条件进行校核解方程求独立结点位移叠加作内力图用平衡条件进行校核不能解静定结构可以解静定结构力法位移法35