1.1 归纳推理

第一章推理与证明§1归纳与类比1.1归纳推理历史上，人们曾经有过制造永动机的美好愿望，希望制造出一种不消耗能量的机器，永无休止地为人类服务.人们提出过许多永动机的设计方案.最早永动机的设计方案是13世纪的法国人亨内考提出的，后来人们又提出了各种永动机的设计方案.滚珠永动机软臂永动机阿基米德螺旋永动机磁力型永动机从大量的失败案例中，科学界归纳出了一个结论:不可能制造出永动机.后来，著名科学家罗蒙诺索夫提出了能量守恒定律，从理论上说明了制造永动机是不可能的.在这里我们用到了数学中的什么原理？请进入本节的学习！歌德巴赫猜想的提出过程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等于两个素数之和”即偶数＝素数＋素数改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,18=7+11,…，这个结论是否正确呢？人们验证了许多偶数，都满足这个规律，但是至今还没有得到证明，这个结论仍然是猜想.例1在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系.解：考察一些多面体，如图1所示，将这些多面体的面数（F）、棱数（E）、顶点数（V）列出，得到右表：多面体面数（F）棱数（E）顶点数（V）三棱锥464四棱锥585五棱锥6106三棱柱596五棱柱71510立方体6128八面体8126十二面体123020图1从这些事实中，可以归纳出：F＋V－E＝2这就是著名的欧拉公式.例2如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论.解：考虑单位面积的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形，它们的周长分别记作p3,p4,p6,p8,可得下表p3p4p6p84.5643.723.64归纳上述结果，可以发现：面积一定的正多边形中，边数越多，周长越小.于是得到猜测：图形面积一定，圆的周长最小.提示：在以上各例的推理过程中，它们的共同之处是：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理.思考：上述各例的推理过程中，它们的共同之处是什么？归纳推理的基础归纳推理的作用归纳推理的含义观察、分析发现新事实、获得新结论由部分到整体、由个别到一般的推理归纳推理的结论不一定成立注意点评:由归纳推理获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.因此不一定正确.费马猜想:任何形如的数都是素数．221(N)nn反例：522992164497727060417641.12215,222117,422165537,3221257,例如法国数学家费马观察到1.观察1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52.你能得出的一般性结论为__________________.分析：观察各式两边数字特点可得1+3+5+…+(2n-1)=n23.(2012·江西高考)观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，…，则a10+b10=()A.28B.76C.123D.199分析：由前几项发现规律，归纳猜想结果.C4.观察下列各式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，可以得出的一般结论是（）A．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=n2B．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-2）=（2n-1）2C．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=n2D．n+（n+1）+（n+2）+…+（3n-1）=（2n-1）2解析：分析题设中1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，各式子左右两边的形式，包括项数，每一个式子第一个数的值等，归纳分析后，即可得到结论.B1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，……由此猜想:前n个连续的奇数的和等于n的平方,即1+3+5+…+(2n-1)=n23、观察下列式子，归纳结论：11310043213333363213339213323333)321(321nn例2已知数列{an}的第1项a1=1，且（n=1,2,…),试归纳出这个数列的通项公式.11nnnaaa解：分别把n=1,2,3,4代入得11nnnaaa23451111,,,2345aaaa归纳:1nan解法2取倒数得1111nnaa例5(2005年广东)设平面内有n条直线(n≥3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,f(4)=,当n4时,f(n)=.(用n表示)5(3)(2)2ff(4)(3)3ff(5)(4)4ff()(1)1fnfnn累加得:()(2)234(1)fnfn1(2)(1)2nnf(n)=f(n-1)+n-17、观察下列式子，归纳结论：abba2222233abbaba（以下a、b均为正数）3344abbaba22442babaknkkknnnbababa(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为：设圆的方程为①(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.1.归纳推理的一般思维过程:实验、观察概括、推广猜测一般性结论2.归纳推理的特点由部分到整体、个别到一般的推理;以观察分析为基础,推测新的结论;具有发现的功能;结论不一定成立.回顾本节课你有什么收获？实例2：春秋时代鲁国的公输班(后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师)一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，但这桩倒霉事却使他发明了锯子他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？实例3：类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的.鱼类潜水艇蜻蜓直升机形状，沉浮原理外形，飞行原理仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.上面的这些用到了数学中类比推理的知识，请进入我们今天的学习！例2根据平面几何的勾股定理,试类比猜测出空间中相应的结论．解平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体.在四面体P-DEF中，面PDE、面DEF和面PDF两两垂直.勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边长的平方和.类比到空间就是：△PEF面积的平方等于三个直角三角形面积的平方和.即：2222DEFDFDEPEFSSSSPP【提升总结】平面图形与空间图形的类比关系如下：平面图形空间图形点线线(线段长度)面(面积)面(封闭图形)(面积)体(几何体)(体积)思考1:以上各例的推理过程中，它们有什么共同之处呢？我们称这种推理是什么？提示：由于两类不同对象具有某些类似特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征,推出另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理称为类比推理.类比推理是两类事物特征之间的推理.(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以旧有知识为基础,类比出新的结论.(2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性.(3)类比的结果具有猜测性.【提升总结】类比推理的特点提示：在平面几何中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行.类比到空间的结论：空间中，同时垂直于一条直线的两条直线互相平行.我们知道：在空间中，垂直于一条直线的两条直线的位置关系不止一种，它们可能相互平行，也可能相交.由此可见，类比推理的结论也不一定可靠.思考2：类比推理的结论是否一定是正确的？思考3.类比推理与归纳推理有何本质的不同？提示：类比推理是由特殊到特殊的推理，而归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.【变式练习】在平面上，若两个正三角形的边长之比为1∶2，则它们面积之比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1∶2，求它们的体积之比.解两个正三角形是相似三角形，所以面积之比为相似比的平方.同理，两个正四面体是相似几何体，体积之比为相似比的立方，故它们的体积之比为1∶8.观察、比较联想、类推猜想新结论【提升总结】类比推理的一般步骤即：⑴找出两类对象之间可以确切表述的相似特征⑵用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.合情推理合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.尽管合情推理的结果不一定正确，但是，在数学、科学、经济和社会的历史发展中，合情推理有非常重要的价值，它是科学发现和创造的基础.归纳推理类比推理探究点2合情推理1.平面内平行于同一条直线的两条直线平行，由此类比思维，我们可以得到()A．空间中平行于同一平面的两个平面平行B．空间中平行于同一条直线的两条直线平行C．空间中平行于同一平面的两条直线平行D．空间中平行于同一条直线的两个平面平行A2.下列推理正确的是()A．把a(b+c)与loga(x+y)类比，则有loga(x+y)=logax+logayB．把a(b+c)与sin(x+y)类比，则有sin(x+y)=sinx+sinyC．把(ab)n与(a+b)n类比，则有(x+y)n=xn+ynD．把(a+b)+c与(xy)z类比，则有(xy)z=x(yz)D3.在等差数列{an}中，若an0，公差d0，则有a4·a6a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn0,公比q1，则b4,b5,b7,b8满足的一个不等关系为______________.【解题分析】利用等差数列中的积类比等比数列中的和.b4+b8b5+b7由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系:2.（2004广东，15）变式训练PABPABSPAPBSPAPBPABCPABCVVPBBAAA'B'C'PBACVP-A'B'C'VP-ABC=VC'-PA'B'VC-PAB=13SPA'B'h'13SPABhPCPBPACPBPAPsPAB=12PAPBsinP=PA'PB'PAPBh'h=PA'PB'PC'PAPBPCsPA'B'sPAB=PA'PB'PAPB由图(1)有面积关系:则由图(2)有体积关系:2.（2004广东，15）PABPABSPAPBSPAPBPABCPABCVV分析：PBBAA变式训练A'h'hB'C'PBAC2sPA/B/=1PA'PB'sinPA'B'C'PBAC回顾本节课你有什么收获？1.类比推理的定义.2.类比推理的一般步骤：3.合情推理：归纳推理和类比推理统称合情推理.观察、比较联想、类推猜想新结论