1.1 线性规划问题及其数学模型

第1页运筹帷幄之中决胜千里之外线性规划LinearProgramming运筹学课件第2页线性规划线性规划问题及其数学模型图解法单纯形法原理单纯形法计算步骤单纯形法的进一步讨论数据包络其他应用例子案例分析第3页线性规划概述线性规划（LinearProgramming，简记为LP）是运筹学中的一个最重要、应用最广泛的分支。线性规划及其通用解法--单纯形法一般认为是美国学者丹捷格（G.Dantzig）在1947年研究美国空军军事规划时提出的。苏联学者康托洛维奇在1939年解决工业生产组织与计划问题时就提出类似线性规划的模型及解法；康托洛维奇的工作当时没有被重视，但直到1960年康托洛维奇再次发表《最佳资源利用的经济计算》一书后，才受到重视。一些常见的带有Spreadsheet的软件，如：Excel、Lotus1-2-3等，均有内置的线性规划求解功能。最优化问题求解软件，如：Lindo、Lingo、Matlab等。第4页线性规划问题提出在生产管理和经营活动中经常会提出这样一类问题：如何利用有限的人力、物力、财力等资源，取得最好的效果。例如：配载问题一交通工具，运输几种不同体积、重量的物资，如何装配，所运的物资最多？下料问题用圆钢制造长度不等的机轴，如何下料，所剩的余料最少？生产计划问题企业生产A、B两种电器产品，两种产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有产品均能销售出去。企业可提供的两种原材料和劳动时间的数量是有限的。产品A与产品B各应生产多少，可使企业总利润最大?第5页线性规划问题提出上述这些问题有如下共同特点：问题解决要满足一定条件，称为约束条件；问题有多个满足条件的解决方案；问题解决有明确的目标要求，对应不同方案有不同目标值，可表示成目标函数。第6页线性规划问题及其数学模型问题提出与建模生产计划问题运输问题线性规划模型一般形式规范形式标准形式形式转换第7页常山机械厂制造Ⅰ、Ⅱ两种产品。已知各制造一件时分别占用的设备A、B、C的台时，每天可用于这两种家电的能力、各售出一件时的获利情况如下表所示。问该企业应制造两种产品各多少件，可使获取的利润最大。项目ⅠⅡ每天可用量设备A（h）2212设备B（h）4016设备C（h）0515利润（元）23生产计划问题第8页问题分析可控因素：每天生产两种产品的数量，分别设为12,xx目标：每天的生产利润最大利润函数1223xx受制条件：每天资源的需求量不超过可用量：设备A：122212xx设备B：1416x设备C：2515x蕴含约束：产量为非负数12,0xx第9页模型12max23zxx122212xxs.t.1416x2515x12,0xx第10页运输问题一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库2,1;iAi发送到零售点4,3,2,1;jBj，仓库iA能供应的产品数量为2,1;iai，零售点jB所需的产品的数量为4,3,2,1;jbj。假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库iA运一个单位产品往jB的运价为ijc。问应如何组织运输才能使总运费最iA小？第11页问题分析可控因素：从仓库iA运往jB的产品数量设为4,3,2,1,2,1;jixij目标：总运费最小费用函数2141ijijijxc受控条件：从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即2,1;4321iaxxxxiiiii4,3,2,1;21jbxxjjj蕴含约束：数量非负4,3,2,1,2,1;0jixij第12页模型min2141ijijijxc2,1;4321iaxxxxiiiiis.t.4,3,2,1;21jbxxjjj4,3,2,1,2,1;0jixij第13页线性规划问题的三个要素决策变量决策问题待定的量值称为决策变量。决策变量的取值有时要求非负。约束条件任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。约束条件是决策方案可行的保障。LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。目标函数衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。目标函数是决策变量的线性函数。有的目标要实现极大，有的则要求极小。第14页何谓线性规划问题最优化问题我们称如下一般问题：“在一定约束条件下，求目标函数的最大或最小值”为最优化问题，用数学模型描述的最优化问题，称为数学规划问题。线性规划问题在最优化问题中，如果约束条件与目标函数均是线性的，我们就称之为线性规划问题。第15页线性规划的数学模型如果规划问题的数学模型中，决策变量的取值是连续的，既可以为整数，也可以为分数、小数或实数，目标函数是决策变量的线性函数，约束条件是含决策变量的线性等式或不等式，则该规划问题的数学模型为线性规划的数学模型。第16页线性规划数学模型建立线性规划问题数学模型的步骤：Step1分析实际问题；Step2确定决策变量；Step3找出约束条件；Step4确定目标函数；Step5整理、写出数学模型。第17页【例1.1】某市今年要兴建大量住宅,已知有三种住宅体系可以大量兴建，各体系资源用量及今年供应量见下表：要求在充分利用各种资源条件下使建造住宅的总面积为最大(即求安排各住宅多少m2)，求建造方案。水泥(公斤/m2)4000(千工日)147000(千块)150000(吨)20000(吨)110000(千元)资源限量3.5——18025120大模住宅3.0——19030135壁板住宅4.521011012105砖混住宅人工(工日/m2)砖(块/m2)钢材(公斤/m2)造价(元/m2)资源住宅体系线性规划问题举例第18页【例1.2】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？线性规划问题举例产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050产品资源消耗表第19页【例1.3】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400线性规划问题举例第20页【例1.4】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？线性规划问题举例第21页注意：（１）求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；（２）最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。（３）如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。第22页【例1.5】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质%费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190线性规划问题举例第23页解:设xj（j=1,2，…，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型注意：矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。1234512451345135123451234512min3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Zxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx3450.40.80.4510,1,2,,5jxxxxj第24页【例1.6】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。线性规划问题举例第25页【例1.7】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天每台可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。线性规划问题举例第26页线性规划问题的一般形式qjxqjxmpibxaxaxapibxaxaxatsxcxcxczjjininiiininiinn,...,2,1;,...,2,1;0,...,1;,...,2,1;..min221122112211无限制目标函数约束条件假定线性规划问题有n个决策变量，m个约束条件。一般地，线性规划问题数学模型中可表示成如下形式：第27页注释njxj,...,2,1;为待定的决策变量，),,,(21ncccc为价值向量，njcj,...,2,1;为价值系数，),...,,(21mbbbb为右端向量，矩阵为系数矩阵。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211第28页规范形式0..minxbAxtsxc第29页标准形式max..0cxAxbstx第30页模型转换约束转换实例令自由变量jjjxxx，其中jjxx,为非负变量求最小可以等价成求负的最大minmaxcxcx目标转换变量转换第31页约束转换不等式变等式不等式变不等式ininiibxaxaxa2211ininiibxaxaxa2211ininiibxaxaxa2211等式变不等式第32页不等式变等式ininiibxaxaxa22110,2211iiininiisbsxaxaxa或ininiibxaxaxa22110,2211iiininiisbsxaxaxa松弛变量剩余变量第33页不等式变不等式ininiibxaxaxa2211ininiibxaxaxa2211或ininiibxaxaxa2211ininiibxaxaxa2211第34页例1把问题转化为标准形式12212231224122522max()2()22()2..()50;1,3,4,5,,0.izxxxxxxxxxxxstxxxxxixx