13.3等边三角形

一、复习回顾：1、等腰三角形的性质定理是什么？等腰三角形的两个底角相等。（可以简称：等边对等角）2、这个定理的逆命题是什么？如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。简写成：等角对等边称为：等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理与性质定理有何不同？区别:3、等腰三角形的性质定理和判定定理互为逆命题，条件和结论刚好相反。4、运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中。等腰三角形等边三角形一般三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。是特殊的等腰三角形一般三角形等腰三角形等边三角形底≠腰底＝腰有二条边相等｛(也叫正三角形)博文中学王冲学习目标1．理解等边三角形的定义。2.掌握区分等边三角形的性质和判定。3.能运用等边三角形的知识解决相应的数学问题。重难点4．掌握含30o角的直角三角形的性质特征，并能灵活运用这一性质解决实际问题。重难点等边三角形的三个内角都相等并且每一个内角都等于60。ABC已知：AB=AC=BC求证：∠A=∠B=∠C=60。∵AB=AC∴∠B=∠C∵AC=BC∴∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180。∴∠A=∠B=∠C=60。证明：数学格式：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60。性质2、等边三角形的内角都相等吗?探究一等边三角形有“三线合一”的性质吗?ABC探究二回顾一下等腰三角形的三线合一ABCD（1）AD是底边上的中线AD是底边上的高（2）AD是顶角平分线AD是底边上的高（3）AD是底边上的高AD是顶角平分线AD是底边上的中线（简写成：等腰三角形三线合一）在等腰三角形ABC中（AB=AC）AD是底边上的中线AD是顶角平分线等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都互相重合。ABC探究二结论3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?探究性质三ABC对称轴：顶角平分线或底边上的中线、高所在的直线图形等腰三角形性质每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，轴对称图形（3条）等边三角形轴对称图形（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60º两条边相等三条边都相等等边三角形的性质思考？一个三角形满足什么条件后就是等边三角形?探究判定ABC三个角都相等的三角形是等边三角形。已知：∠A=∠B=∠C求证：AB=AC=BC∵∠A=∠B∴AC=BC∵∠B=∠C∴AB=AC∴AB=AC=BC证明：数学语言：∵∠A=∠B=∠C∴AB=AC=BC判定2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形ABC已知1：AB=AC∠A=60。求证1：AB=AC=BC已知2：AB=AC∠B=60。求证2：AB=AC=BC证明1：∵AB=AC∠A=60。∴∠B＝∠C＝(180。－∠A)=60。∴∠A=∠B=∠C∴AB=AC=BC数学语言:∵AB=AC∠A=60。∴AB=AC=BC12证明2：∵AB=AC∠B=60。∴∠B=∠C=60。∴∠A=180。－∠B－∠C=60。∴∠A=∠B=∠C∴AB=AC=BC判定3：三边都相等的三角形是等边三角形。三个角都相等的三角形是等边三角形。∵AB=BC=AC∴△ABC是等边三角形∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形∵∠A=600,AB=BC∴△ABC是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC的大小为______．ABPQC120°课堂练习练习与巩固1.下列说法中,正确说法的个数为()(1)若等腰三角形有一个角等于60°,则这个三角形为等边三角形(2)等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定是等边三角形(3)有两个角是60°的三角形一定是等三角形(4)等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是3条A.1个B.2个C.3个D.4个D１.下列四个说法中，不正确的有(）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三个角都相等的三角形是等边三角形。有两个角等于60°的三角形是等边三角形。有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。Ｂ２、等边三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条3、等腰三角形的对称轴有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）1或3条（选择）ＣD4、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（）（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条Ａ如图：等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个B.5个C.6个D.7个DACBDEO(2)等边三角形的性质:1.等边三角形的内角都相等,且等于60°2.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.(3)等边三角形的判定:1.三边都相等的三角形是等边三角形.2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形.(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形.边角互相转化思想课堂小结已知△ABD,△AEC都是等边三角形，求证BE=DC课本83页第12题CDABECDABE练一练如图，在一次测量活动中，测得∠APB=60°，AP=BP=200m，他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m．他们的结论对吗？正确有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形解：在△APB中，AP=BP，∠APB=60°，所以∠PAB=∠PBA=1/2（180°－∠APB）=1/2（180°－60°）=60°于是∠PAB=∠PBA=∠APB从而△APB是等边三角形，AB的长是200m．由此可以得出兴趣小组的结论是正确的．正确有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形△ABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED证明：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC=BC，∠ABC=∠A=∠ACB=60°∴∠DBC=∠E∴BD=DE（等角对等边）∵CE=CD∴∠CDE=∠E=1/2∠ACB=30°（等边对等角）∵AB＝AC,D为AC的中点∴∠ABD=∠DBC=1/2∠ABC=30°（三线合一）2.如果一个三角形是轴对称图形,且有一个外角是120°,那么这个三角形是()A.直角三角形B.等腰直角三角形C.正三角形D.含30°角的直角三角形3.如图,△ABC是等边三角形,且∠1=∠2=∠3,则∠D等于()A.90°B.80°C.45°D.60°ABCDEF123CD4.如图,在△ABC中,AB=AC=BC,CD是∠ACB的平分线,过点D作DE∥BC交AC于点E,若△ABC的边长为a,则△ADE的周长是()A.2aB.aC.aD.a1232ABCDEC图形性质判定等腰三角形等边三角形BACDABC两腰相等等边对等角三线合一轴对称图形两边相等等角对等边三边相等三角相等三线合一轴对称图形三边相等三角相等有一个角是60°的等腰三角形考点等腰三角形的性质和判定ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB、BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE、CD交于F,交BD于M,交BE于N.证明:∵△ABD和△BCE为等边三角形∴DB=ABBC=BE∠ABD=∠EBC=60°∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠EBC即∠ABE=∠DBC在△ABE和△DBC中AB=DBABE=DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC∴AE=CD∴∠MAB=∠FDMABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB、BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE、CD交于F,交BD于M,交BE于N.证明:(2)∠AFD的度数是多少?∵∠AMB=∠DMF∴∠AFD＝∠ABD＝60°ABCDEFMN已知:A、B、C三点在一条直线上,分别以AB、BC为边在AC的同侧作等边三角形ABD和BCE,连接AE、CD交于F,交BD于M,交BE于N.(3)BM与BN有什么关系?为什么?连接MN,△BMN是什么三角形?∵∠ABD＝∠EBC＝60°∴∠DBE＝180°-∠ABD－∠EBC＝60°∴∠ABD＝∠DBE在△ABM和△DBN中∠MAB=∠FDMAB=AB∠ABD=∠DBE∴△ABM≌△DBN∴BM=BN∵∠DBE=60°∴△BMN是等边三角形证明:教师寄语愿你用勤奋的汗水浇灌智慧的花朵12.3.2含30°角直角三角形的性质1．探索并掌握含30°角直角三角形的性质2．应用该性质解决相关的问题．学习目标BACD将两个含有30°的三角尺如图摆放在一起，你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?BACD30°探究数学化CBADBACD证明：∵△ABC与△ADC关于AC轴对称∴AB＝AD，∠BAD=2X30=60∴△ABD是等边三角形又∵AC⊥BD∴BC=DC=1/2BD=1/2AB=1/2ADOOCBA含30°角的直角三角形的性质定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.几何(数学)语言：∵在RT△ABC中，∠A＝30°(或AB=2BC)12∴BC=AB∵AB＝AD,∠B=60°BACD∴AB=AD=BD(有一个角是60°等腰三角形是等边三角形)21又∵BC=CD=BD21∴BC=AB证法二证法一：如答图所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD=1/2AB，即BC=1/2AB．AA证法二：如答图所示，在AB上取一点D，使BD=BC，∵∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠DCB=60°，∠ACD=90°-∠DCB=90°-60°=30°=∠A．∴DC=DA，即有BC=BD=DA=1/2AB，∴BC=1/2AB．证法三：如图所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，连DC有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=DA=1/2AB，即BC=1/2AB．拓展提高3.若一个等腰三角形的底角是15°，腰长为6cm，求这个等腰三角形ABC的面积BCA15°15°150°D30°应用：下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°,立柱BC、DE要多长?DCACBE30°解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30°可得2BC＝AB,2DE＝AD∴BC＝1/2×7.4＝3.7m又AD＝1/2AB∴DE＝1/2AD＝1/2×3.7＝1.85m答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.比一比：看谁算的快1.如图：在Rt△ABC中∠A=300,AB+BC=12cm则AB=_____cmＣＢＡ３００８2.如图:△ABC是等边三角形，AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm,BD=＿＿＿，BE=____ACEBD４ｃｍ２ｃｍ3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BA的垂直平分线交边CB于D。若AB=10，AC=5，则图中等于30°的角的个数为（）A.2B.3C.4D.5AEDCBB比一比：看谁算的快回味一下•特殊的直角三角形的性质:定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半.1．等边三角形的内角都相等，且都等于60°；2．等边三角形是轴对称图形，有三条对称；3．等边三角形每条边上中线，高线和所对角的平分线都三线合一．二、等边三角形的判定1．三边相等的三角形是等边三角形；2．三个角都相等的三角形是等边三角形；3．有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形．一、等边三角形的性质回味一下名称图形性质等边三角形等边三角形的性质:ABC三个角都相等，且都为60°三线合一三条边都相等轴对称图形，有三条对称轴名称图形判定等边三角形等边三角形的判定:ABC三个角都等于60°的三角形三条边都相等的三角形有一个角等于60°的等腰三角形2.新理念中考题(2004·浙江)正三角形给人以“稳