13.5相对于质心的动量矩(重庆大学土木理论力学课件)解析

在前面的阐述中，特别指明了矩心是固定点（或矩轴是固定轴）。但是，可以证明，如选取质点系的质心作为矩心（或原点在质心的平动坐标系的轴为矩轴），动量矩定理具有相同的表达形式。13.5质点系相对于质心的动量矩定理一、质点系相对与质心的动量矩1、分解质心的运动①建立质心平动坐标系②牵连运动动系随质心平动。作用于质点的外力合力为Fie。§13.5质点系相对与质心的动量矩定理③相对运动质点系相对于质心的运动（质点系不能说相对于质心转动，刚体才是相对于质心转动）。2、任一质点mi的矢径如图所示，O为定点，C为质点系的质心，任一质点mi的矢径任一质点Mi的速度icrivvvicirrr()iiicrimvmvv若质点Mi的质量为mi，则该质点的动量为：而对于固定点O的动量矩为：()()oiiiicriMmvrmvvicrivvv()()ciicrirrmvvicirrr则整个质点系对于固定点O的动量矩为：()()()ooiiciicriLMmvrrmvv其中：imm为整个质点系的质量。ciciicciriiirirmvrmvrmvrmv()cciicciriiirirmvmrvrmvrmv()()oiiiicriMmvrmvv()()ciicrirrmvv因为质心是动坐标系原点，所以rC′=0，vrC=0，从而由质心运动定理可知∑miri′=mrC′，Σmivri=mvrC式中是质点系在相对于质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩。ciiriLrmvocccLrmvL0()cciicciriiiriLrmvmrvrmvrmv0cciiriLrmvrmv于是得质点系相对于O点的动量矩。式（13.21）表明，质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的系统动量mvC对于O点的动量矩与此系统对于质心的动量矩的矢量和。occcLrmvL下面讨论质点系在相对质心平动坐标系的运动中对质心的动量矩和在绝对运动中对质心的动量矩之间的关系。4、讨论：质点系相对于质心的动量矩事实上，从上面的推导过程可以看出，当动坐标系随同质心C平动时，不论用相对速度还是用绝对速度计算，结果都一样（因为由于牵连速度而有的动量矩∑ri′×mivC=0）。下面就将LC称为质点系对于质心的动量矩。即：质点系对于质心的相对动量矩LC′等于质点系对于质心的绝对动量矩LC此结论对质心本身的运动未作任何限制，但动系一定是原点在质心的平动坐标系。二、质点系相对于质心的动量矩定理1、质点系相对于质心的动量矩d(mm)dOCCCCtLrvva2、定理（推导）由LO=rC×mvC＋LC得LC=LO－rC×mvCdd(m)ddCOCCttLLrvddmddCOCCttLLraLO=rC×mvC＋LC＝∑MO(Fi)－rC×∑Fi＝∑ri×Fi－∑rC×Fi＝∑（ri－rC）×Fi＝∑ri′×Fi(e)(e)11d()dnnOiiOiiiMtLrFF)(dd)e(1)e(1iniCiniiCMtFFrLddmddCOCCttLLra3、意义：质点系相对于质心的动量矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对（同一点）质心的主矩。这个结论称为质点系相对于质心的动量矩定理。该定理在形式上与质点系相对于固定点的动量矩定理完全一样。dLC／dt=MC（13.22）dLO／dt=MO质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系5、讨论比较dLO／dt=MOdLC／dt=MC（13.22）O点——固定点C点——质心（运动点）〖注意〗：只有当动点是质心时，才能得到式（13.22）的推导结果。否则，有些项就不会为零。故不能对任一动点取动量矩矩心。4、投影形式将式（13.22）投影到随质心平动的直角坐标系x'C、y'C、zC′轴上，得其中LxC、LyC、LzC是质点系对于轴xC、yC、zC的动量矩dLC／dt=MC（13.22）()()()excxciyceyciezczcidLMFdtdLMFdtdLMFdt（13.23）这几个方程表明：质点系对于随同质心平动的任一轴的动量矩对于时间的变化率，等于作用于质点系上所有外力对同一轴的矩的代数和。可以证明，对于平面运动的刚体，如速度瞬心到质心的距离保持不变，则对于瞬心可直接应用动量矩定理，无须作任何修正。例如：①均质圆轮沿轨道滚动而不滑动的情形；②均质杆两端分别沿铅垂墙面和水平地面滑动的情形。即质心到瞬心的距离不变.三、质点系相对于质心的动量矩守恒的情形（1）若∑MCi=0，则由LC=ct知，质点系相对于质心C的动量矩守恒（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知，质点系相对于质心zC轴的动量矩守恒。（2）若∑MzC=0，则由LzC=ct知，质点系相对于质心zC轴的动量矩守恒。例如：跳水运动员在离开跳板后，设空气阻力不计，则他在空中时除了重力并无其他外力的作用，由于重力对质心的力矩为零，故相对于质心的动量矩是守恒的。当他离开跳板时，他的四肢伸直，其转动惯量较大。当他在空中时，把身体卷缩起来，使转动惯量变小，于是得到较大的角速度，可以在空中多翻几个跟斗。这种增大角速度的办法，常应用在花样滑冰、芭蕾舞，体操表演和杂技表演中。§13.6刚体的平面运动动微分方程对于一般运动的质点系，各质点的运动可分解为随同其质心一起的牵连运动和相对于固连在质心的平动坐标系的相对运动两部分。则可以分别用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理来建立这两部分运动与外力之间的关系。这样就能全面地说明外力系对质点系的运动效应，并能确定整个系统的运动。由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得2(e)22(e)2ddd()dCCCCmtJJMtrFF将上式中的第一式投影到x，y轴上，第二式投影到过质心C且与图平面垂直的z′轴上，得2(e)22(e)22(e)2ddddd()dCxCyCCCxmFtymFtJJMtF设刚体绕z′轴转动的角速度为w，与计算定轴转动刚体对转动轴的动量矩相似，可以得到刚体对z′轴的动量矩等于(13.25)()CxCyzzmxFmyFJMF这就是刚体的平面运动动微分方程Lz′=Jz′w其中Jz′是刚体对zC轴的转动惯量。于是，式（13.24）最后成为例均质圆轮质量为m，半径r，沿倾角为θ的斜面滚下，如图所示。设轮与斜面间的摩擦因数为f，试求轮心C的角速度及斜面对于轮子的约束反力。解：建立图示坐标系Oxy，可知：,0cccxayFNxcacmgyFθα所以：sin(1)cmamgF)2(cos0NFmg)3(FrJc由（2）式可得：)4(cosmgFN而在其余两式中，包含三个未知量,所以必须有一附加条件才能求解。下面分两种情况来讨论：FNxcacmgyFθα1.假设轮子与斜面间无相对滑动，则此时有(5)carr联立（1）、（2）、（5），并有212cJmr由（3）式解得：2sin32sin31sin3caggrFmg)3()2(cos0FrJFmgcN)1(sinFmgmacFNxcacmgyFθα)4(cosmgFN2．假设轮子与斜面间有相对滑动，则此时为动摩擦，NFfF联立（1）、（3）、（6）式，解得：sincos2coscoscafgfgrFfmgFNxcacmgyFθα)1(sinFmgmac(3)cJFr(6)并且要使轮子只有滚动而无滑动，必须F≤fN，所以有：1sincos3mgfmg这就是轮子滚动的条件。FmgFθaccNαxy1tan3f即：例（参见习题13.19）均质圆轮半径为r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动中无滑动。求质心C的运动规律。解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力mg，圆弧表面的法向力FN和摩擦力Ff。解：圆轮在曲面上作平面运动，受到的外力有重力G=mg，圆弧表面的法向力FN和摩擦力Ff。设某瞬时OC连线与铅垂直线的夹角为f，并以逆时针转向为正，则轮质心C的运动轨迹为一圆弧，相应取切线正方向沿f角增大方向。并设圆轮以顺时针转动为正。图示瞬时刚体平面运动微分方程在自然轴上的投影式为mact＝Ff－mgsinf(a)mact＝F－mgsinf(a)由运动学知，当圆轮只滚不滑时，角加速度的大小为a＝aCt/r(d)2cos()CNvmFmgbRr()CJFrc同时可得，质心的弧坐标SRrSRr同时可得，质心的弧坐标cvSRrcaSRr质心速度质心加速度mact＝F－mgsinf(a)a＝aCt/r(d)302gssRr2cos()CNvmFmgbRr()CJFrc当f很小时，sinf≈f，联立式（a）、（c）、（d）求得CasFrmr221c1122FmrmaSRr令302gssRr2n23()gRr2n0ss此方程的解为s＝s0sin(wnt＋b)式中s0和b为两个常数，由运动起始条件确定。则上式成为令302gssRr2n23()gRr2n0ss000n3()2vRrsvg此方程的解为s＝s0sin(wnt＋b)式中s0和a为两个常数，由运动起始条件确定。则上式成为如t＝0时，s＝0，初速度为v0，于是：0＝s0sinbv0＝s0wncosb解得：tanb＝0，b＝0°最后得这就是质心沿轨迹的运动方程。000n3()2vRrsvg03()2sin23()RrgsvtgRrs＝s0sin(wnt＋b)b＝0°由式（b）可求得圆轮在滚动时对地面的压力FN′.2cosCNNvFFmmgRr式中第一项为附加动反力，其中03()2sin23()RrgsvtgRr02cos()3()CgvsvtRr2cos()CNvmFmgbRr例均质圆轮半径为r，质量为m，受到微小扰动后，在半径为R的固定圆弧槽内往复滚动，如图所示，设圆轮在滚动时无相对滑动，初瞬时，0，mgrcOR00＝＝而求轮子作微小往复运动的运动方程。解取圆轮讨论，作用在轮上的外力有：重力mg，法向反力FN及摩擦力F，轮作平面运动。设某瞬时OC连线与铅垂直线的夹角为φ，并以逆时针为正，则轮质心C的运动轨迹为一圆弧，相应取切线正方向沿φ角增大方向。rcNOFFmg将刚体平面运动微分方程在自然坐标系上投影得：FmJFmaFmaccncnc221,2ccccncdvadtvaRrJmrsinmgFdtdvmcFrmr221cos2mgFrRvmNc得：rcNOFFmg由运动学知，当圆轮只滚不滑时，有rac规定α以逆时针为正，而在图示瞬时，ac为正，α的转向应为顺时针，因而有rac故rRSvcrRSac并且，当轮子作微小往复运动时，φ很小，有：,sin032rRg则上式成为rcNOFFmgrRS同时可得，质心的弧坐标rRg322令则上式成为02解此方程得：tAcos其中A、α为待定常数，由初始条件确定。032rRg代入初始条件，即t＝0时，,0,00可得0,0A于是得到trRg32cos0这