第八章-剪切和扭转

PPP｝PP｝PP(b)PM(a)工程实例第8.1节剪切与挤压的实用计算工程中承受剪切变形的构件常常是连接件。例：铆钉、螺栓等。*受力特点：杆件受到相距非常近的横向力（平行力系）的作用。*变形特点：构件沿平行力系的交界面发生相对错动。PP单剪面PP/2P/2PP｝/2/2PPQQQQ｝P双剪面（2）剪力：剪切面上的内力（3）剪应力：剪力在剪切面上的分布集度（一）、剪切实用计算，假设：剪力在剪切面上是均匀分布的（1）剪切面：发生相对错动的面。平行于作用力的方向。PP剪应力（平均剪应力）、（名义剪应力）求铆钉剪切面上的剪力（截面法）、剪应力P｝PP｝PPFQAQ＝AQ＝－剪切强度条件241dA铆钉面积：PP（二）、挤压实用计算：假设：挤压力在挤压计算面积上是均匀分布的接触面上的相互作用力（为非均匀分布）。挤压力：挤压力的作用面。挤压面：挤压面(b)σbs(c)(a)PbsCσP挤压计算面积Abs：挤压面的直径投影面。挤压面(b)σbs(c)(a)PbsCσPt挤压应力:bsPbsAF挤压强度条件bsbs－挤压强度条件tdAbsPP例2：销钉连接,FP＝18kN,t1=8mm,t2=5mm,[τ]=60Mpa[σbs]=200MPa,d=16mm，试校核销钉的强度。PP/2/2P/2/2PPQQQQP1剪切强度校核：MPadFAQP8.44422＝＝2挤压强度计算：bsPbsPbsMPadtFAF6.1401销钉安全解：双剪面例题4：已知：[σ]、[τ]、[σbs]、D、t、d。求[FP]解：1.由强度条件AFdFANPP412＝＝2.由剪切强度条件：dtFtdFAQPP＝3.由挤压强度条件：bsPbsbsbsPbsdDFAF224FP＝min{FPN、FPQ、FPbs}例题6：用两块钢板连接的两根矩形截面木杆受轴向拉力,FP＝50kN,木杆截面宽度b＝250mm，其[τ]=1MPa[σbs]=10MPa。求连接所需的a、c。abFAQP2＝＝bspbscbF2a=100mmc=10mm应力材料力学解决基本变形问题的步骤：内力强度、刚度效核截面尺寸设计许可载荷确定外力变形工程实际问题解决超静定强度条件刚度条件8.3扭转的概念和实例8.3扭转的概念和实例受力特点：杆件为圆截面直杆，在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶矩变形特点：杆件的任意两横截面绕轴线发生相对错动。TT8.4外力偶矩、扭矩、扭矩图一、外力偶矩：一般有三种情况给出：1、直接给出作用在轴上的外力偶矩的大小2、通过外力平移计算得出3、通过电机给轴所传递的功率和轴的转速计算得出：nNm7024）（mNP(N)：千瓦(马力)n：转/分(r/min)T=9549P(kW)n(r/min)(N.m)FlaSABCFlaSABCFM二、计算扭矩（截面法）mmmT平衡条件:0TmmT扭矩符号:按右手螺旋法则扭矩的矢量方向离开截面为正;指向截面为负.mTm1m2m3m4例题1：图示轴受力情况,求轴各横截面的扭矩m1T1011mT11mTm1m2T20212mmT212mmTm1m2m3T303213mmmT3213mmmT已知：m1+m2+m3+m4=0一侧mT外力偶矩正负号规定:外力偶矩的矢量方向离开所求截面为正;外力偶矩的矢量方向指向所求截面为负。m1m2m3m411mT212mmT43213mmmmT1kn.m2kn.m3.5kn.m0.5kn.m例题2:画扭矩图2aa4aABCD1kn.m3kn.m0.5kn.m+-例题3：已知：A、B、C的传输功率为NA＝4kWNB=10kWNC=6kWn=500r/min。试作轴的扭矩图。1.外力偶矩mNnNMAA.4.76500495499549mNMB.191mNMC.6.1142.画扭矩图T+-76.4KN114.6KN8.3a纯剪切1.薄壁圆筒扭矩时的剪应力：Lqpmmqp(a)qpmtrmmrrt222）：剪应变（直角改变量ABCD´ABCDxyzdxdydz=yxzxyzdddddd)()(剪应力互等定律：在相互垂直的两个平面上的剪应力的数值大小相等，方向：同时指向（同时背离）两截面的交线。——剪应力互等定律Lqpmmqp(a)qpmtrm22：剪应变mlr＝G·剪切胡克定律：）（12EG4.剪切变形比能dW=1/2(τdyt)dxdU=dWu=dW/dV=1/2(τ)=τ2/2G例4：三个正方形微元体受力后变形如图，求：三者剪应变）（）（2）（08.5圆轴扭转时的应力和变形由实验现象得出（平截面假设）：圆轴扭转时，横截面就象刚性平面一样，只绕轴线转过一个角度。1、变形几何关系8.5等直圆轴扭转时横截面上的切应力8.5.1实心圆轴横截面上的应力⑴变形后，圆轴上所有的横截面均保持为平面，即平面假设；⑵横截面上的半径仍保持为直线；⑶各横截面的间距保持不变。1、变形几何关系：cc/=d·r（）cc/ac==d·rdx=r·ddx横截面上任意点处的剪应变与该点到圆心的距离成正比并且垂直于半径平面——剪应变的变化规律。＝G＝Gddx2、物理关系：＝G横截面上任意点处的剪应力与该点到圆心的距离成正比，所有距圆心距离相等的点，剪应力均相同。（同一圆周上的各点的剪应力大小相等）A()dA=T3、静力学关系：ddx＝TGIpIp=A2dAGIp—扭转刚度Ip—截面的极惯性矩＝GddxT圆轴扭转时横截面上的最大剪应力当＝D/2时，＝maxmax=TWtWt=D/2IpWt:抗扭截面模量圆轴扭转时横截面上任意一点剪应力计算公式：PIT)(强度条件:tWTmaxyxrdrRAApdrI2rDrdr2202AApdrI2rDdrdr2222324D)1(3244DDdIp=A2dA横截面的极惯性矩对于实心圆截面对于圆环截面Wt=d316Wt=D316(1-4)例题5：已知：N＝7.5kW,n=100r/min,许用剪应力＝40MPa,空心圆轴的内外径之比=0.5。求:实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。NM=9549n7.5=9549100=716.2N.mmax=Wt116TT=d13≤[]=40MPa≥0.045m=45mmd1=16716.2401063实心圆截面：强度条件：max=≤[]=40MPaWt2M16M=D3(1-4)≥0.045m=45mmD=16716.2(1-0.54)40106d=0.5D=23mmA1A2=d12D2(1-2)=1.28为什么承受同样的外力偶矩，空心轴比实心轴更合理空心圆截面：P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1z3z1=1203612=360r/minMx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.mmax(E)=T1Wt1=16.54MPamax(H)==22.69MPaT2Wt2=21.98MPamax(C)例题6：已知：输入功率P1＝14kW,功率的一半通过锥形齿轮传给垂直轴C，另一半由水平轴H输出。n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大剪应力。8.5b圆轴扭转时的变形扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对扭转角来表示的相距dx的两横截面间扭转角：相距L的两横截面间扭转角：若两横截面间扭矩不变GIP：抗扭刚度单位：弧度PABABGITlPGITdxddxGITdLPL刚度条件：180maxPGIT单位：（度/米）1kn.m2kn.m3.5kn.m0.5kn.m例题7:已知轴的直径d=10cm，G=80GPa，a=0.5m，求（1）画扭矩图（2）max（3）CD两截面间扭转角CD、AD两截面间扭转角AD2aa4aABCD1kn.m3kn.m0.5kn.m+-解:tWTτmaxmaxMPad3.151016103633PCDCDGITl)(1027.1101080325.04105.038493弧度d1kn.m2kn.m3.5kn.m0.5kn.m2aa4aABCDCDBCABAD）（CDCDBCBCABABPLTLTLTGI13849109.1101032108045.0321aaaM0ABCL1L2例题8:已知L1=1.5m,L2=1m,d1=70mm,d2=50mm,[]=60MPa。试求:[M0]CM0ABMAMC解:平衡方程:变形协调方程:0mmmCABCBA21PBCCBCPABABAGIlMGIlM0056.3156.356.2MMMMCA，CM0ABMAMC24.5][0M0056.3156.356.2MMMMCA，6310max10601656.356.2dMWMτtA6320max10601656.31dMWMτtC62.50M24.50M例14：)()(ddITddxpAMZRdTdIdTMxRPxZ34202xAxAyMdddddZsindddARTdddIdTMxRPxz34sin020RTdMxz34dd第六节非圆截面杆扭转的概念翘曲自由扭转:横截面上只有剪应力,没有正应力。约束扭转:横截面上既有剪应力,又有正应力。2maxhbTmaxmax（长边中点处〕（短边中点处〕3hbGTlGITlnmaxh1b对狭长矩形截面：h/b1.0﹥3322hbWhbInn，角点切应力等于零边缘各点切应力沿切线方向最大切应力发生在长边中点4.7连接件的强度计算连接构件用的螺栓、销钉、焊接、榫接等这些连接件，不仅受剪切作用，而且同时还伴随着挤压作用。4.7.1剪切实用计算在外力作用下，铆钉的截面将发生相对错动，称为剪切面。nm第8章剪切和扭转极限应力除以安全因数。在剪切面上与截面相切的内力，如图所示。称为剪力()QFQFF在剪切面上，假设切应力均匀分布，得到名义切应力，即：QFA剪切极限应力，可通过材料的剪切破坏试验确定。u即得出材料的许用应力剪切强度条件表示为：剪切计算主要有以下三种：1、剪切强度校核；2、截面设计；3、计算许用荷载。QFA例题4.9正方形截面的混凝土柱，其横截面边长为200mm，其基底为边长1m的正方形混凝土板，柱承受轴向压力kN100F设地基对混凝土板的支反力为均匀分布，混凝土的许用切应力:MPa5.1试设计混凝土板的最小厚度为多少时，才不至于使柱穿过混凝土板？解：（1）、混凝土板的受剪面面积0.2m40.8mA（2）、剪力计算2Q2332210.20.2m()11m10010N10010N0.04m()1mFFFN1096N0004N1010033（3）、混凝土板厚度设计3Q9610N808001.5Pa800FmmmmMmm(4)、取混凝土板厚度mm80例题4.10钢板的厚度,其剪切极限应力，问要加多大的冲剪力F，才能在钢板上冲出一个直径的圆孔。mm18dmm5MPa400u解：（1）、钢板受剪面面积dAπ（2）、剪断钢板的冲剪力