阿贝尔群和循环群

5-5阿贝尔群和循环群定义5-5.1：如果群G,*中的运算*是可交换的，则称该群为阿贝尔群，或称交换群。例题1：设G为所有n阶非奇（满秩）矩阵的集合，矩阵乘法运算。作为定义在集合G上的二元运算，则G,。是一个不可交换群。解：任意两个n阶非奇矩阵相乘后，仍是一个非奇矩阵，所以运算是封闭的。矩阵乘法运算是可结合的。n阶单位阵E是G中的幺元。任意一个非奇阵A存在着唯一的逆阵，使AA-1=A-1A=E但矩阵乘法是不可交换的，因此，G,是一个不可交换群。定理5-5.1:设G,*是一个群，G,*是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。证明:充分性设对任意a,b∈G,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)因为a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b所以a-1*(a*(a*b)*b)*b-1=a-1*(a*(b*a)*b)*b-1即得a*b=b*a因此，群G,*是阿贝尔群。必要性设G,*是阿贝尔群，则对任意的a,b∈G有a*b=b*a因此(a*a)*(b*b)=a*(a*b)*b=a*(b*a)*b=(a*b)*(a*b)定义5-5.2：设G,*为群，若在G中存在一个元素a,使得G中的任意元素都由a的幂组成，则称该群为循环群，元素a称为循环群G的生成元。例如：60°就是群{0°，60°，120°，180°，240°，300°}，★的生成元，因此，该群是循环群。定理5-5.2：任何一个循环群必定是阿贝尔群。证明：设G,*是一个循环群，它的生成元是a,那么，对于任意的x,y∈G,必有r,s∈Z，使得x=ar和y=as而且x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此，G,*是一个阿贝尔群。对于有限循环群，有下面的定理。定理5-5.3：设G,*是一个由元素a∈G生成的有限循环群。如果G的阶数是n,即|G|=n,则an=e且G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}，其中，e是G,*中的幺元，n是使an=e的最小正整数（称n为元素a的阶）。证明：假设对于某个正数m，mn，有am=e。那么，由于G,*是一个循环群，所以G中的任何元素都能写为ak(k∈Z)，而且k=mq+r其中，q是某个整数，0≤rm。这就有ak=amq+r=(am)q*ar=ar这就导致G中每一个元素都可表示成ar(0≤rm)，这样，G中最多有m个不同的元素，与|G|=n相矛盾。所以am=e(mn)是不可能的。进一步证明a，a2，a3，…，an-1,an都不相同。用反证法。假设ai=aj,其中1≤ij≤n,就有ai=ai*aj-i,即aj-i=e,而且1≤j-in,这已经由上面证明是不可能的。所以，a，a2，a3，…，an-1,an都不相同，因此G={a，a2，a3，…，an-1,an=e}例题2：设G={α，β，γ，δ}，在G上定义二元运算*如表5-5.2所示。表5-5.2*αβγδαβγδαβγδβαδγγδβαδγαβ解：由运算表5-5.2可知运算*是封闭的，α是幺元。β，γ和δ的逆元分别是β，δ和γ。可以验证运算*是可结合的。所以G,*是一个群。在这个群中，由于2,3,4,以及2,2,4故群G,*是由γ或δ生成的，因此G,*是一个循环群。从本例可以看到：一个循环群的生成元可以不是唯一的。作业5-5P200(1)(4)5-7陪集与拉格朗日定理定义5-7.1：设G,*是一个群，A，B∈P(G)且A≠，B≠，记AB={a*b|a∈A,b∈B}和A-1={a-1|a∈A}，分别称为A，B的积和A的逆。定义5-7.2：设H,*是群G,*的一个子群a∈G，则集合{a}H称为由a所确定的H在G中的左陪集，简称为H关于a的左陪集，记为aH。元素a称为陪集aH的代表元素。（H{a}）（右陪集）（右陪集）(Ha)(Ha)例1：IE,+是群I,+的子群，则{0}IE=IE,{2}IE=IE,{-2}IE=IE,……{1}IE=Io,{-1}IE=Io,{3}IE=Io，……所以，{IE,Io}是对于I(整数集)的一个划分。定理5-7.1（拉格朗日定理）设H,*是群G,*的一个子群，那么(a)R={a,b|a∈G,b∈G且a-1*b∈H}是G中的一个等价关系。对于a∈G,若记[a]R={x|x∈G且a,x∈R}，则[a]R=aH(b)如果G是有限群，|G|=n,|H|=m,则m|n。证明：(a)对于任一a∈G,必有a-1∈G,使a-1*a=e∈H,所以a,a∈R。若a,b∈R,则a-1*b∈H，因为H是G的子群，故(a-1*b)-1=b-1*a∈H，所以,b,a∈R。若a,b∈R,b,c∈R,则a-1*b∈H,b-1*c∈H,故a-1*b*b-1*c=a-1*c∈H,所以a,c∈R。这就证明了R是G中的一个等价关系。对于a∈G,我们有：b∈[a]R当且仅当a,b∈R,即当且仅当a-1*b∈H,而a-1*b∈H就是b∈aH。因此，[a]R=aH。(b)由于R是G中的一个等价关系，所以必定将G划分成不同的等价类[a1]R,[a2]R,…，[ak]R，使得G=又因，H中任意两个不同的元素h1,h2,a∈G,必有a*h1≠a*h2,所以|aiH|=|H|=m,i=1,2,…，k。因此HaakiikiRi11kiikiimkHaHaGn11||||||推论1：任何质数阶的群不可能有非平凡子群。这是因为，如果有非平凡子群，那么该子群的阶必定是原来群的阶的一个因子，这就与原来群的阶是质数相矛盾。推论2：设G,*是n阶有限群，那么对于任意的a∈G,a的阶必是n的因子且必有an=e,这里e是群G,*中的幺元。如果n为质数，则G,*必是循环群。这是因为，由G中的任意元素a生成的循环群H={ai|i∈I,a∈G}，一定是G的一个子群。如果H的阶是m，那么由定理5-5.3可知am=e,即a的阶等于m。由拉格朗日定理必有n=mk,k∈I,因此，a的阶m是n的因子，且有an=amk=(am)k=ek=e。因为质数阶群只有平凡子群，所以，质数阶群必定是循环群。必须注意，群的阶与元素的阶这两个概念的不同。例题1：设K={e,a,b,c},在K上定义二元运算*如表5-7.1所示。表5-7.1*eabceabceabcaecbbceacbae证明K,*是一个群，但不是循环群。证明：由表5-7.1可知，运算*是封闭的和可结合的。幺元是e，每个元素的逆元是自身，所以，K,*是群。因为a,b,c都是二阶元，故K,*不是循环群。我们称K,*为Klein四元群。Klein四元群的特点为：群的阶数是4，除e以外的三个元素a,b,c都是二阶元，且a*b=b*a=c,b*c=c*b=a,a*c=c*a=b例题2：任何一个四阶群只能是四阶循环群或者Klein四元群。证明：设四阶群为{e,a,b,c},*，其中e是幺元。当四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知，除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能等于a,b或e,否则将导致b=e,a=c或a=b的矛盾，所以a*b=c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。因此，这个群是Klein四元群。作业5-7P211（2）（5）