第5章 厚壁圆筒的分析

第5章厚壁圆筒的分析第5章厚壁圆筒的分析1.厚壁圆筒的弹性分析2.厚壁圆筒的弹塑性分析3.组合厚壁圆筒的分析*4.厚壁圆筒的残余应力*5.强化材料的厚壁圆筒6.厚壁圆简自紧分析简介*7.厚壁圆球的分析*5－1厚壁圆筒的弹性分析计算模型厚壁圆筒内半径a，外半径b，取单位厚度。受内压p1，外压p2。厚壁圆筒问题属平面轴对称问题，可按第4章结果根据边界条件得到解答。p1p2ab应力边界条件内边界外边界应力分量0)(|1arrarrp0)(|2brrbrrp02222rrrCrACrA因为自然满足，所以，联立求解，得代回应力解表达式，得应力解答（Lamé解）。0)(,0)(brrarr2212||pCbApCaAbrrarr222212221222,)(abpbpaCabppbaA22222122221111pbarapabrbr22222122221111pbarapabrb拉梅（Lamé）解答Lamé解的另一种表达式：222212222122222221222212221)(1)(abpbparabppbaabpbparabppbar位移分量位移边界条件位移解答2/0|,|vv0)1()1(1vCrrAEurabpbparabppbaEu222212221222)1(1)()1(1？如果是平面应变问题？几种特殊情况22221222221211rbabparbabpar”拉“（压），rp1r只承受内压，p10，p2=0rrbabpaEu)1()1(122212”受压均为“-,rrp2只承受外压，p1=0，p2022222222222211raabpbraabpbrrraabpbEu)1()1(122222验证圣维南原理，在ra处，应力很小，可以不计。即在内压p1作用下，b处影响可不计。无限域承压孔，p10，p2=0，b12222221212222221211prarbabpaprarbabpabbrrp1r无限域内无内压孔，p1=0，p20，b（孔边应力集中问题）当r=a时，r=0，=2p2。这说明，在外部均匀压力作用下，无限域开孔后，孔周边应力集中系数为2。如果外部压力不均匀，集中系数该如何？22222211raprapr【例】曲梁纯弯曲问题的弹性力学解答x0abMß曲梁区域由两对圆弧坐标线和两条径线围成，设厚度为单位1。由于是纯弯曲，各截面M相同，因而应力分量与无关，为轴对称问题。【解】应力分量02)ln23(2)ln21(22rrrCrBrACrBrA其中A、B、C为常数，须由边界条件确定。其边界条件：0)(0|arrarr内边界外边界0)(0|brrbrr主（长）边界：上边界次（短）边界：0)(|0|rbabaMrdrdr（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）下边界0)(|0|000rbabaMrdrdr（8）（9）（10）其中（2）、（4）、（7）、（10）自动满足。由（1）、（2），有02)ln21(02)ln21(22CbBbACaBaA由（5）或（8），有02)ln21(2baCrBrAr(a)(b)(c)由（6）或（9），有MabCaabbabBabA)()]lnln()[(ln222222(d)从上式可见，(a)、(b)满足，(c)必满足。联立(a)、(b)、(d)求解，得)]lnln(2[)(2ln422222222aabbabSMCSabMBSabbMaA222222)(ln4)(babaabS其中：应力分量表达式)lnlnln(4)lnlnln(4222222222222abraabrbabrbaSMraabrbabrbaSMr讨论：位移分量的确定，须给出位移约束条件。设0,0,0,020rvvubarr处和则有CrBrBrrBrrAEu)1(2)1(2)31()1(ln)1(2)1(1内力及约束反力N=0,Q=0由本例可见，各应力、位移、内力分量中均不含多值函数项（项）。])1(2)1(ln)1(2)1[(100000CrBrrBrrAEHr0为曲梁中轴线半径5－2厚壁圆筒的弹塑性分析屈服条件——在轴对称平面应变条件下，并假设泊松比=0.5，Tresca屈服条件与Mises屈服条件只相差一个系数，即，Tresca屈服条件中s的系数为1，而Mises屈服条件中s的系数为。两个屈服条件中都是应力偏量起控制作用，而应力偏量代表剪应力。可以采用其中一个屈服条件求得解答，可以将此解答中的屈服极限s乘以相应的系数，得到相应的解答。3/2弹塑性应力分析承受内压p的厚壁圆筒厚壁圆筒弹塑性分析模型（a）边界条件与弹塑性分界；（b）弹性区；（c）塑性区弹性极限荷载筒内弹性应力分量按Tresca屈服条件，内壁开始屈服时的弹性极限荷载pe为222222222211rbabparbabpar2212bapse弹塑性荷载当内压ppe时，厚壁圆筒内分为塑性区和弹性区，二者界限为r=rp的圆。塑性区的应力分量弹性区的应力分量pspsrparparln1ln222222222211rbrbqrrbrbqrppppr弹性区与塑性区交界处的弹性径向应力弹性区与塑性区交界处的塑性径向应力因应力连续，上二者相等，则弹塑性极限荷载pp为2212brqpsarpqpspln2212lnbrarppspsp塑性极限荷载当rp=b时，整个截面全部进入塑性状态，厚壁圆筒达到塑性极限状态，此时的荷载即为塑性极限荷载pl。应力分量abpsllnababssrln1lnabpslln32采用Mises条件三种极限状态下的应力分布（a）弹性极限状态；（b）弹塑性极限状态；（c）塑性极限状态弹塑性状态下的位移弹性区位移（rprb）塑性区位移（arrp）其中，rp为未知。2222)21()1(21brrEbruspe2222)21()1(21brrEbrupsppErrusp243(=0.5)位移与内压的关系弹性状态弹塑性状态塑性状态轴对称平面应变厚壁圆筒问题讨论取不同值时，对弹性极限位移ue影响不大，一般小于4%；对塑性极限位移ul影响较大，可达18.5%。使用Mises屈服条件所得塑性极限荷载比用Tresca屈服条件的结果大15.5%。将按Tresca屈服条件求解所得结果中s的系数由1改为，则可得到满足Mises屈服条件的相应结果。不同端面条件对弹性极限荷载的影响不大。随着内压的增加，变形增大，塑性极限荷载下降。考虑变形的影响，理想弹塑性结构承载不稳定。3/25－5幂强化材料的厚壁圆筒假设：承受内压p，平面应变，体积不可压缩（=0.5）。应力－应变关系一维应力状态三维应力状态其中，0n1，i=-r，A为材料参数。本条件无屈服条件，无弹性极限，无塑性极限。可按限定位移值确定条件极限压力。nAniiA应力分量位移分量prabanbbrprababrnnnnnnnnnnnnnr2222222222222)()2()()(nnnnnnpAnrabbau11222221)(23应力分布（a）（b）（a）幂强化模型；（b）应力分布