证明不等式的基本方法

一、比较法2233,,,1abbabababa求证且都是实数已知例)()()()(:32232233babbaaabbaba证明))(()()(2222babababbaa2))((baba0,0,baba0)(2baba又0)()(0))((22332abbabababa即故2233abbaba(1)作差比较法.,,,,,2并给出证明问题将这个事实抽象为数学增加到此时溶液的浓度白糖若在上述溶液中再添加则其浓度为糖溶液白糖制出如果用例mbmamkgbabkgakgbambmabamba则且并都是正数已知如下不等式问题可以把上述事实抽象成解,,,,::bambmabamba则且并都是正数已知如下不等式问题可以把上述事实抽象成解,,,,::下面给出证明)()(mbbabmbambma0)(,0)(,,,,0mbbabmmbaabab都是正数又bambmabambmambbabm00)()(即.,,,,3等号成立时当且仅当求证是正数已知例babababaabbabaabbaabbababababa:证明.,1,0,1,0),,(等号成立时当且仅当则不妨设不等式不变的位置交换点根据要证的不等式的特bababababababa.,,等号成立时当且仅当bababaabba(2)作商比较法3)(,,,::cbacbaabccbaRcba则若求证变式引申aaaaa)1(log)1(log:,2:求证已知补充例题.2,123:题第题第课本课堂练习Pbnamnbmanmnmba试证明且都是正实数若补充练习,1,,,,:补充练习:dcDdbcaCdbcaBdcdbcadbcabaadbcdcba.22..baA.)(,22,,,,,,,.1中最大的是则且都是正数已知D不能确定的大小关系是与则且若.1.1.qA.1)(1,,,1,0.2nmDqqqCqqqBqqqqqNnmqqnmnmnmnmnmnmnmA不能确定的大小关系为与则中和等差数列在等比数列D.baC,bB.abA.a)(,,0,0,.355555555313311baaabababannAabDabCbaBbabbaabbaba2.2..A.a)(2,,2,,10.42222中最大的值是则设B________,,,42,5.5222满足的条件为则实数若设baQPaaabQbaP21abab或__________,,),(log),log(log21,2log,10.621212121的大小关系是则若MQPbaMbaQbaPbaQPM二、综合法与分析法(1)综合法在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发,通过逻辑推理,推导出所要证明的结论.这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法.又叫顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系))()((21结论必要条件逐步推演不等式成立的已知BBBBAnabcbacacbcbacba6)()()(,,0,,1222222求证且不全相等已知例abccbaabccb2)(,0,2:2222证明abcacbbacac2)(,0,22222abcbaccabba2)(,0,22222abcbacacbcbacba6)()()(,,,,222222把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,,a,221n21n21求证且已知例.1,21,122)1()1)(1(,,,,,21,,21,21,:21.21212122111时取等号所以原式在取等号时得由不等式的性质同理证明niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,,2222222ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它的变形形式又有它的变形形式又有常用的不等式有不等式的使用应注意对已证时利用综合法证明不等式(2)分析法从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系知成立的充分条件论已步步寻求不等式结)(21ABBBBn用分析法证“若A则B”这个命题的模式是:为了证明命题B为真,只需证明命题B1为真,从而有……只需证明命题B2为真,从而有…………只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.63723求证例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372:22成立所以成立只需证只需证展开得只需证所以要证都是正数和证明abccbaaccbbacba222222,0,,4求证已知例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,,,)(:可以考虑用右边各项涉及三个字母平方之积左边各项是两个字母的观察上式要证的不等式可化为分析abccbaaccbbacba222222,0,,4求证已知例abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb222222222222222222222222222222222222222222,01,0,0,,)(222)(22)(,0,22)(,0,22)(,0,2:故又证明三、反证法与放缩法(1)反证法先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理,定义,定理,性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理,性质,明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,这种方法称为反证法.对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明..21,1,2,0,1中至少有一个小于试证且已知例xyyxyxyx211.2,2)(22,21,21,0,,21,21,21,1:中至少有一个小于与矛盾这与已知条件且即都不小于假设证明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba,,,2求证为实数已知例cba.,0,0,0.0.0,0)(,0,0,00,0)2(.0,0,0,0)1(.00,0,,,,:所以原命题成立同理可证综上所述也不可能相矛盾这和已知于是又可得那么由如果不可能矛盾与则如果两种情况讨论和下面分不妨先设正数即其中至少有一个不是不全是正数假设证明cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形.(2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有较在原灵活性;另外,用放缩法证明不等式,关键是放、缩适当,否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较强的一种证法.21,,,,3caddbdccacbbdbaaRdcba求证已知例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba,0,,,:证明baababdccdcd21.caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即得把以上四个不等式相加.111,,4bbaabababa求证是实数已知例.1111111111110:bbaababbaababababababababa证明补充例题:mccmbbmaamcbaABC:,,,,.1求证为正数且的三边长是已知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf)()(,)(mbaba)()(.),0()(),0,0(1)(:又上是增函数在易知设函数证明)(23,,.2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx求证不全为零已知实数22)2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx：证明2,22222xzxzxzzyzyzy同理可得)(23)2()2()2(,,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，，zyx所以三式相加得式取不到等号故上述三式中至少有一不全为零由于)2(121,121,)1(11,)1(11;)21(43)21(.)3(;)2(;)()1(:.,,,,2222Nkkkkkkkkkkkkkk②aa①BCCACA且以上如缩应用基本不等式进行放子或分母在分式中放大或缩小分一些项或加进舍掉放缩技巧有常用的后证即放大成如将中间量寻找一个一边放大或缩小放缩法就是将不等式的