解析几何大题训练

解析几何大题训练（一）一、面积问题1．已知椭圆)0(12222babyax上任意一点到两焦点21,FF距离之和为24，离心率为23．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于BA,两点．点)1,2(P为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．2．已知圆)40()4(1)1(:22222221rryxFryxF）：（与圆的公共点的轨迹为曲线E,且曲线E与y轴的正半轴相交于点M．若曲线E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为41．（1）求E的方程；（2）求ABM的面积的最大值．3.已知椭圆C：12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值。4.设动点,Pxy0x到定点1,02F的距离比到y轴的距离大12．记点P的轨迹为曲线C．（1）求点P的轨迹方程；（2）过1,02F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S，求四边形GRHS面积的最小值．5.已知双曲线C的方程为12222bxay(a0,b0),离心率e=52,顶点到渐近线的距离为255.(1)求双曲线C的方程;(2)如图,P是双曲线C上一点,A、B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限.若AP=λPB,λ∈1,23.求△AOB的面积的取值范围.6.如图,O为坐标原点,椭圆1:C222210xyabab的左右焦点分别为12,FF,离心率为1e;双曲线2:C22221xyab的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee,且2431FF.(1)求12,CC的方程;(2)过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形APBQ面积的最小值.1．（1）由条件得：22223242cbaacea，解得2,6,22bca，所以椭圆的方程为12822yx（2）设l的方程为mxy21，点),,(),,(2211yxByxA由1282122yxmxy消去y得042222mmxx．令0168422mm，解得2m，由韦达定理得42,222121mxxmxx．则由弦长公式得22121211()45(4)4ABxxxxm．又点P到直线l的距离52411mmd，∴224)4()4(552212122222mmmmmmdABSPAB，2.（1）设⊙1F，⊙2F的公共点为Q,由已知得，rQFrQFFF4,,22121，故1QF2124QFFF,因此曲线E是长轴长24,a焦距22c的椭圆，且3222cab，所以曲线E的方程为22143xy；（2）设:ABykxm，代入椭圆E的方程22143xy得：0)3(4843222mkmxxk）（…．①122834kmxxk，21224(3)34mxxk由0且23m得：32k或32k，又ABCANMBNMSSS2112MNxx212214)(23xxxx222243)3(44)438(23kmkkm2243946kk226124949kk132，当且仅当12942k，即221k时，ABM的面积最大，最大值为233.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy。（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，。（1）当ABx⊥轴时，3AB。（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm。由已知2321mk，得223(1)4mk。把ykxm代入椭圆方程，整理得222(31)6330kxkmxm，122631kmxxk，21223(1)31mxxk。22221(1)()ABkxx22222223612(1)(1)(31)31kmmkkk22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)kkmkkkk2422212121233(0)34196123696kkkkkk≤。当且仅当2219kk，即33k时等号成立。当0k时，3AB，综上所述max2AB。当AB最大时，AOB△面积取最大值max133222SAB。4.（1）由题意知，所求动点,Pxy为以1,02F为焦点，直线1:2lx为准线的抛物线，方程为22yx．（2）设过F的直线方程为1()2ykx，11(,)Gxy，22(,)Hxy，由21()22ykxyx得2222(2)04kkxkx，由韦达定理得12221xxk，1214xx，所以221212||()()GHxxyy221212221()42kxxxxk，同理2||22RSk．所以四边形GRHS的面积22221212222282Tkkkk，即四边形GRHS面积的最小值为8．5.解:(1)由题意知,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线ax-by=0的距离为255,∴22abab=255,即abc=255.由22225,55,2,abccacab得2,1,5.abc∴双曲线C的方程为24y-x2=1.(2)由(1)知双曲线C的两条渐近线方程为y=±2x,设A(m,2m),B(-n,2n),m0,n0.由AP=λPB得P点坐标为2,11mnmn,将P点坐标代入24y-x2=1,化简得mn=214.设∠AOB=2θ,∵tan(π2-θ)2.∴tanθ=12,sin2θ=45.又|OA|=5m,|OB|=5n,∴S△AOB=12|OA|·|OB|·sin2θ=2mn=121+1,记S(λ)=121+1,λ∈1,23.则S′(λ)=1221.由S′(λ)=0得λ=1.又S(1)=2,S13=83,S(2)=94,∴当λ=1时,△AOB的面积取得最小值2,当λ=13时,△AOB的面积取得最大值83.∴△AOB面积的取值范围是82,3.6.(1)由题可得2212221,1bbeeaa,且22122FFab,因为1232ee,且222224FFabab,所以22223112bbaa且222231abab2ab且1,2ba,所以椭圆1C方程为2212xy,双曲线2C的方程为2212xy.(2)由(1)可得21,0F,因为直线AB不垂直于y轴,所以设直线AB的方程为1xny,联立直线与椭圆方程可得222210nyny,则222ABnyyn,212AByyn,则22mnyn,因为,MMMxy在直线AB上,所以2222122Mnxnn,则直线PQ的方程为2MMynyxyxx,联立直线PQ与双曲线可得222202nxx2242xn,2222nyn则22022nn,则22224222nPQxyn,设点A到直线PQ的距离为d,则B到直线PQ的距离也为d,则22224AABBnxynxydn,因为,AB在直线PQ的两端,所以220BBAAnxynxy,则22224AABBnxynxydn2224AABBnxynxyn,又因为,AB在直线1xny上,所以22224ABnyydn222222422144ABABnyyyynnn,则四边形APBQ面积122SPQd222221322122nnn,因为2022n,所以当20n时,四边形APBQ面积的最小值为2.