与数据分析初步章末总结

-1-第四章样本与数据分析初步章末总结◆知识网络归纳◆专题综合讲解专题一、算术平均数与加权平均数的联系和区别算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，可以说算术平均数是在各项的权相等的情况下的加权平均数.在实际问题中，一组数据的各个数据的“重要程度”未必相同，因而在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个权，如在求n个数据中，如果1x的权数是1f，2x的权数是2f，…，kx的权数是kf12...kfffn，则11221...kkxxfxfxfn为12,,...,kxxx这k个数据的加权平均数。总之，算术平均数与加权平均数是特殊与一般的关系，算术平均数是加权平均数的特殊情况；加权平均数是算术平均数的一般情况.例1、相同质量的甲、乙两种金属的密度分别为31/gcm和32/,gcm求这两种金属的合金的密度.分析：设出甲、乙两金属的质量，由密度公式：密度=质量体积，求得两种金属的体积，-2-最后据密度公式求出合金的密度.解：设甲乙两种金属的质量都是m克，则根据物理学中的密度公式：密度=质量体积，得12,.mmVV乙甲∴合金的密度为：12121222.mmmmmVV乙甲点评：有些同学在解题时，容易出现合金密度为122的错误.专题二、运用所学的统计量分析数据平均数、中位数和众数都是反映一组数据的集中趋势的量，它们刻画了一组数据的“平均水平”，但它们各有特点：计算平均数时，所有的数据都参加运算，它能充分反地利用数据所提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它容易受极端值的影响；中位数的优点是计算简单，受极端值的影响较小，但不能充分利用所有的数据提供的信息；当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们尤为关心的一个量。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有特别意义。极差与方差都是反映一组数据波动大小的量，一般来讲，一组数据的极差、方差越小，这组数据的波动就越小，也就越稳定。在运用这两个统计量分析数据时要注意：（1）两个统计量越小，并不表示这组数据越好，只能说明较为稳定。所以用它们来对数据进行处理时，应对实际问题具体分析.（2）用两个统计量来比较两组数据，只有在两组数据的平均数相等或比较接近时，才能采用这种方法.在分析一组（或几组）数据时，我们经常从平均数、中位数、众数、极差和方差等方面进行分析.例2、某地举办歌咏比赛，由7位评委现场给参赛歌手打分。已知7位评委给8号选手的评分如下：-3-评委1号2号3号4号5号6号7号评分9.29.89.69.59.59.49.3请你利用所学的统计知识，给出这位8号参赛歌手的最后得分（精确到0.01）.分析：可以采用（1）求7个数据的平均数；（2）采用“去掉一个最高分和最低分”的办法求5个数据的平均数；（3）求出中位数；（4）求出众数.解：（1）19.29.89.69.59.59.49.39.47.7x（2）可去掉一个最高分9.8，去掉一个最低分9.2，19.69.529.49.39.46.5x（3）将这组数据由小到大排列为：9.2，9.3，9.4，9.5，9.5，9.6，9.8.∴该数据的中位数是9.5.（4）因9.5出现2次，且出现的次数最多，所以该组数据的众数为9.5.综上所述，8号参赛歌手的最后得分可以为9.47分，9.46分，9.5分，这些都符合统计学原理.点拨：本题属于一类比较简单的开放性问题，确定歌手的最后得分的途径很多，依据的标准（规则）不同，答案也不一定相同，但得分应该较接近，因为中位数、众数以及平均数都是反映一组数据集中趋势的量，它们分别从不同的角度描述数据的变化趋势，但以平均数应用最广泛.例3、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下已经算得两个组的人均分都是80分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组成绩谁优谁次，并说明理由.分析：在平均数相同的情况下，可以从众数、中位数、方差等方面进行分析.解：（l）甲组成绩的众数90分，乙组成绩的众数为70分，从众数比较看，甲组成绩-4-好些。（2）算得2甲S=172，2562乙S所以甲组成绩较乙组波动要小。（3）甲、乙两组成绩的中位数都是80分，甲组成绩在中位数以上的有33人，乙组成绩在中位数以上的有26人，从这一角度看甲组的成绩总体要好。（4）从成绩统计表看，甲组成绩高于80分的人数为20人，乙组成绩高于80分的人数为24人，所以，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好。点评：要根据众数、中位数、方差等统计量的特点进行分析，依据的标准不同，答案也不一定相同.专题三、统计的基本思想用样本估计总体是统计的基本思想。在生产和生活中，为了了解总体的情况，需要对总体进行考察，而当考察的对象很多，或考察本身具有破坏性时，这时我们经常采用从总体中抽取样本，通过对样本的调查，获得关于样本的数据和结论，再利用样本的结论对总体进行估计。例如，要了解一批灯泡的平均使用寿命，一批炮弹的平均杀伤半径，某公司生产的某种产品的稳定情况等，需要利用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差.例4、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳝鱼苗20000尾，其成活率为70％，随意捞出10尾鱼，称得每尾的重量如下（单位：千克）0.8、0.9、1.2、1.3、0.8、1.l、1.0、1.2、0.8、0.9根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？若将鱼全部卖出，每千克可获利润1.5元，预计该养鱼户将获利多少元？分析：先算出样本的平均数，以样本平均数乘以20000，再乘以70%。解：0.830.921.221.11.01.31.0.10x1.02000070%14000（千克）.-5-140001.521000（元）.答：估计这塘鱼的总产量是14000千克，预计该养鱼户将获利21000元.点评：求平均数有两种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。专题四、中考热点聚集这部分知识是统计初步的基础知识，它在中考中所占的比重越来越大，是中考的必考内容之一。近几年来，各省市对这部分内容的考查力度加大，题型由单一的选择题、填空题攀升到分值较高的解答题和应用题，特别是图表信息方面的题目和具有时代气息、背景的题目将成为今后命题的热点，该部分知识与其他知识的联系也是统计的发展方向。例5、一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对9位学生的鞋号进行了抽样调查.其号码为：24、22、21、24、23、20、24、23、24.经销商最感兴趣的是这组数据中的（）。A．中位数B．众数C．平均数D．方差分析：本例考查的是中位数、众数、平均数、方差等在生活中的应用。在本例中，经销商最感兴趣的是哪种号码的鞋销售的最多，所以他关系的是这组数据的众数。解：B。点评：要明确统计中中位数、众数、平均数、方差等所表示的不同含义及其不同的应用。例6为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛,在同等的条件下,教练给甲、乙两名同学安排了一次射击测验,每人打10发子弹,下面是甲、乙两人各自的射击情况记录(其中乙的情况记录表上射中9、10环的子弹数被墨水污染看不清楚,但是教练记得乙射中9、10环的子弹数均不为0发)：甲:乙：-6-（1）求甲同学在这次测验中平均每次射中的环数;（2）根据这次测验的情况,如果你是教练,你认为选谁参加比赛比较合适,并说明理由（结果保留到小数点后第1位）.分析：这既是一道残缺型试题，又是一道说理试题。解答它应着眼于题设条件，实施分类讨论的思想方法，再依据“样本方差是反映样本波动大小的特征数”进行具体操作.解：（1）甲同学在这次测验中平均每次射中的环数是（5×4+6+8×2+9×2+10×2）÷10=7（环）；（2）①若乙同学击中9环的子弹数为1发，则击中10环的子弹数为2发.乙同学在这次测验中平均每次射中的环数是（5×3+6+7×3+9+10×2）÷10=7.1（环）.在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，这时应选乙参加射击比赛.②若乙同学击中9环的子弹数为2发，则击中10环的子弹数为1发.乙同学在这次测验中平均每次射中的环数是（5×3+6+7×3+9×2+10）÷10=7.0（环）.在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，这时应选乙参加射击比赛.经计算知甲同学在这次测验中的方差是3.6（环2），而乙同学在这次测验中的方差是3.0（环2），而3.03.6，所以在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定，这时应选择乙参加射击比赛.综上所述，应选乙参加射击比赛.点拨：本题要注意进行分类讨论，还应注意所学的统计知识在实践中的应用.◆课后复习题全解教材P90目标与评定1、第③中调查方案比较合理，因为抽签的方法合理，容量大，所抽的个体具有代表性。点拨：抽样的关键是在于所抽取的样本必须具有代表性，能较好的反映总体情况。2、分别从北京、上海、广州这三个城市中每个城市随机抽取几个班级，利用所统计的数-7-据计算估计即可。3、1.52m.点拨：根据所给的数据，利用加权平均数的计算公式计算简便。4、27x，总估计一周内该班全体同学丢塑料袋27451215（个）点拨：本例体现了用样本估计总体的统计思想。5、（1）众数2，中位数1；（2）众数9，中位数9。点拨：众数是出现次数最多的数据，计算中位数时必须把这组数据按照一定的顺序排列。6、（1）中位数5万元，众数4万元，平均5.6万元；（2）可从多个角度评价：从平均数上看，每人平均销售5.6万元，；从中位数看，每人销售5万元；从众数角度看，每人销售4万元。点拨：要养成从不同角度分析问题的习惯，这有助于我们对这几个统计量的正确理解。7、0.02.点拨：先求出平均数，而后利用方差的计算公式进行计算。8、点拨：方差越小，发挥就越稳定，把握性会更大。9、点拨：利用折线统计图获取相关数据是解决本问题的前提。-8-10、（2）利用方差可以说明“高峡出平湖”的景象，这种景象在下闸前水位的海拔高度波动较大；而下闸后水位的波动变小了。点拨：要明确方差的含义。本章检测题一、选择题1、下列调查方式，合适的是【】A．要了解一批灯泡的使用寿命，采用普查方式B．要了解淮安电视台“有事报道”栏目的收视率，采用普查方式C．要保证“神舟六号”载人飞船成功发射，对重要零部件的检查采用抽查方式D．要了解外地游客对“淮扬菜美食文化节”的满意度，采用抽查方式2、数学老师对小明参加的4次中考数学模拟考试成绩进行统计分析，判断小明的数学成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这4次数学成绩的（）A、平均数B、众数C、中位数D、标准差3、某青年排球队12名队员的年龄情况如下：年龄（单位：岁）1819202122人数14322则这个队队员年龄的众数和中位数是（）Ａ．19，20Ｂ．19，19Ｃ．19，20.5Ｄ．20，194、体育课时，九年级乙班10位男生进行投篮练习，10次投篮投中的次数分别为3，3，6，4，3，7，5，7，4，9则这组数据的众数与中位数分别为（）A.3与4.5B.9与7C.3与3D.3与5-9-5、数据2、4、4、5、7的众数是（）A、2B、4C、5D、76、为筹备班级的初中毕业联欢会,班长对全班同学爱吃哪几种水果作民意调查,从而最终决定买什么水果。下列调查数据中最值得关注的是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差7、一鞋店试销一种新款女鞋，试销期间卖出情况如下表：型号2222.52323.52424.525数量(双)351015832对于这个鞋店的经理来说最关心哪种型号鞋畅销，则下列统计量对鞋店经理来说最有意义的是()A、平均数B、众数C、中位数D、标准差8、班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是（）Ａ．4小时和4.5小时Ｂ．4.5小时和4小时Ｃ．4小时和3.5小时Ｄ．3.5小时和4小时9、已知样本x1、x2、x3、x4的