新常系数非齐5-6

常系数线性非齐次微分方程第六节一、常系数线性非齐次微分方程第五章二、欧拉方程三、常系数线性微分方程组)(xfyqypy)(为常数q,p二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为Yy*y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法一、常系数线性非齐次微分方程)([xQex)()2(xQp])()(2xQqp)(xPemx1.型)()(xPexfmx为实数,)(xPm设特解为,)(*xQeyx其中为待定多项式,)(xQ])()([*xQxQeyx])()(2)([*2xQxQxQeyx代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式从而得到特解形式为.)(*xQeymx)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQm不是特征方程的根，若)1(,02qp),()(xQxQm可设是特征方程的单根，若)2(,02qp,02p),()(xxQxQm可设;exQyxm)(;exxQyxm)((3)若是特征方程的重根,,02pxmexQxy)(*2即,xQxxQm)()(2可设综上讨论,xQexymxk)(设是重根是单根不是根2,10k注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程（k是重根次数）.特别地xAeqyypy是特征方程的重根是特征方程的单根不是特征方程的根xxxexAxepAeqpAy222,2,例1的一个特解.解本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得31,110bb于是所求特解为0,0.232的通解求方程xxeyyy解对应齐次方程通解特征方程,0232rr特征根，，2121rr,221xxeCeCY是单根，2,eBAxxyx2)(设代入方程,得xABAx22,121BAxexxy2121)(于是原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy例2例3求解初值问题0)0()0()0(123yyyyyy解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故21322CC故对应齐次方程通解为1CYxeC2xeC23原方程通解为1CyxeC2xeC23由初始条件得,0于是所求解为xeeyxx2141432解得41143321CCC性质函数21yiyy是方程（1）的解的充要条件是)()()()(21xfixfyxQyxPy（1）1y与2y分别是方程(2)(3)的解.)()()(1xfyxQyxPy（2）)()()(2xfyxQyxPy（3）型ωxxPexf.lx)cos()(2xileP)(（利用欧拉公式）,yiyy_21构造辅助方程yqypyωxPieωxPelxlxsincosyqypy即)()(xQexylxiωλk_设是该辅助方程的特解，1y则是方程yqypyωxPelxcos一个特解.1y而可写为,ωxxRωxxRexllxk])sin()cos([)2()1(1y2y可写为.ωxxQωxxQexllxk])sin()cos([)2()1(2y可设其特解,ωxxRωxxRexllxk])sin()cos([)2()1(.lxR,xR)(l)(l次多项式是最高其中)()(21,10是单根不是根iik注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程.yqypyωxPelxcos所以对于方程y例4的一个特解.解本题特征方程,2,0故设特解为不是特征方程的根,代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl比较系数,得9431,da于是求得一个特解13a043cb03c043ad0cb例5解(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根xexyyxsin3)2()4(利用叠加原理,可设非齐次方程特解为)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:.tan的通解求方程xyy解对应齐方通解,sincos21xCxCY用常数变易法求非齐方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy设,1)(xw,cos)(tanseclnsin)(2211CxxcCxxxxc原方程通解为.tanseclncossincos21xxxxCxCy例6二、欧拉方程解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换可化为常系数微分方程.)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn的方程(其中nppp21,形如叫欧拉方程.为常数)特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子自变量的方次数相同．)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex则则xyddxttyddddtyxdd122ddxytytyxdddd1222tyyxddtytyyxdddd222dxdttdydxtdydx22211欧拉方程的解法:于是欧拉方程)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即33xdyd)(dtdydtyddtydx23122333tdydtdydxdxd2221dtdydtyddtydyx2322333例7解则原方程化为其根则①对应的齐次方程的通解为特征方程①设特解:CtBtAy2代入①确定系数,得①的通解为换回原变量,得原方程通解为例8解将方程化为(欧拉方程)则方程化为②特征根:设特解:,2tetAy代入②解得A=1,所求通解为思考:如何解下述微分方程提示:原方程直接令tDdd记)(])1([21aefypDpDDt三、常系数线性微分方程组微分方程组由几个微分方程联立而成的方程组称为微分方程组．注意：这几个微分方程联立起来共同确定了几个具有同一自变量的函数．常系数线性微分方程组微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程叫做常系数线性微分方程组．步骤:１.从方程组中消去一些未知函数及其各阶导数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性微分方程．常系数线性微分方程组的解法２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知函数.３．把已求得的函数带入原方程组或消元过程中得到的某些方程,一般经过求导求出其余的未知函数．例9解微分方程组)2(.2)1(,23zydxdzzydxdy由(2)式得)3(21zdxdzy设法消去未知函数及其导数，y解两边求导得，)4(,2122dxdzdxzddxdy把(3),(4)代入(1)式并化简,得0222zdxdzdxzd解之得通解)5(,)(21xexCCz)6(.)22(21221xexCCCy再把(5)代入(3)式,得原方程组的通解为,)()22(2121221xxexCCzexCCCy作业P3942(1)(2)3(3)(6)4(4)5(2)四、小结可以是复数）(),()()1(xPexfmx);(xQexymxk],sin)(cos)([)()2(xxPxxPexfnlx];sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk(待定系数法)思考题写出微分方程xexyyy228644的待定特解的形式.思考题解答设的特解为2644xyyy*1yxeyyy2844设的特解为*2y*2y*1*yy则所求特解为0442rr特征根22,1rCBxAxy2*1xeDxy22*2（重根）*2y*1*yyCBxAx2.22xeDx