第10章 梁的弯曲变形

主讲韩志型西南科技大学土建学院力学教研室§10–1概述§10–2梁的挠曲线近似微分方程§10–3用积分法求梁的变形§10–4用叠加法求梁的变形§10–5梁的刚度条件及提高梁刚度的措施第10章梁的变形学时：3关键术语：挠度，转角，挠曲线，挠度方程，转角方程，边界条件，连续条件，光滑条件教学重点：1、挠度、转角的概念2、积分法求梁的挠度和转角3、叠加法求梁指定截面的挠度和转角4、刚度条件的应用教学难点1、挠曲线微分方程的建立2、挠度、转角函数的确定要求：1．理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关系；2、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件，掌握梁挠曲线的近似微分方程；3、掌握用积分法求梁的变形；4、熟练运用叠加法求梁的变形。5、熟练运用刚度条件，解决刚度校核、截面设计和确定容许荷载问题。§10-1概述工程中的弯曲变形问题吊车梁行车电葫芦6弯曲变形高架桥研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。工程中的弯曲变形问题一、梁的变形特征一、梁的变形特征梁轴线由直线变成曲线。梁轴线由直线变成光滑曲线梁的变形特征？？思考1、梁的变形如何度量？2、这些曲线可用方程描述吗？3、曲线上一点包含了哪些信息？2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。用表示，顺时针转动为正，反之为负。3.横截面形心沿轴线方向的线位移△x。在小变形情况下，△x很小，通常被忽略不计。度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角二、度量梁变形的两个基本位移量PxvCC’v1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。v向下为正，反之为负。x挠度曲线——指梁在弹性范围内的荷载作用下，梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称为挠度曲线，简称为挠曲线。挠曲线方程——用来描述挠曲线的方程称为挠曲线方程。三、挠曲线与挠曲线方程)(xvvPxvCC’v挠曲线上任一点的纵坐标v（x）即为该点的横截面的挠度。可见：梁的任一横截面的转角，等于挠曲线在对应点的切线的斜率。四、转角与挠度的关系ddtgxv小变形'ddtgvxv转角单位为弧度。PxvCC’v'ddtgvxv推导纯弯梁横截面正应力时，得到挠曲线的曲率公式：zEIMρ1忽略剪力对变形的影响，也可用上式计算横力弯曲梁的变形：zEIxMx)()(1§10-2挠曲线的近似微分方程以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然，在纯弯曲时，曲率为常数，其挠曲线为一圆弧。在横力弯曲时，曲率与弯矩成正比。PD由数学知识可知：平面曲线的曲率公式为3222])(1[1dxdvdxvd略去高阶小量，得221dxvd所以zEIxMdxvd)(221dvdx在小变形（小挠度）zEIxMx)()(1其中的正负号与弯矩的正负号规则和v坐标的取向有关。vxM00)(xvvxM00)(''xvzEIxMdxvd)(22vxM0()0vxvxM＜0()0vx由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号相反，所以取负号，挠曲线的近似微分方程为：zEIxMdxvdv)(''22由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。vxM00)(xvvxM00)(''xv挠曲线近似微分方程适用条件：线弹性范围内小变形平面弯曲。挠曲线的近似微分方程zEIxMdxvdv)(''22？思考1、梁的变形如何度量？2、这些曲线可用方程描述吗？3、曲线上一点包含了哪些信息？'ddtgvxvPxvCv一、转角方程和挠曲线方程1d))((1)(CxxMEIxv21d)d))(((1)(CxCxxxMEIxv1.微分方程的积分§10-3用积分法求梁的变形对于等截面直梁，EI是常数，挠曲线近似微分方程：积分一次积分二次转角方程挠曲线方程()()MxvxEI讨论：（1）梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时，积分常数仅2个，由支承约束条件确定；（2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个，这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。2.求积分常数PD（1）支点位移条件：（2)连续条件：0Dv0DCC右左或写成CC右左或写成CCvvCCvv(3)光滑条件：0Av0BvPABC)(1xM)(2xMCCvv左右CC左右CCvv左右CC左右例1用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?解（1）分AB、BC2段，4个积分常数CqBaaaAＦx(1)支座条件：0Cv0Bv连续条件：,xa3,xa光滑条件：,xa,xaBBvv左右BB左右例1用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?解（2）分AB、BC2段，4个积分常数EI1EI2aPABaCx(2)支座条件：0,0AAv连续条件：0,x光滑条件：,xa,xaBB左右BBvv左右例1用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常数的条件是什么?解（3）分AB、BC2段，4个积分常数BCaMlAx(3)支座条件：0Cv0,0AAv连续条件：0,xB铰处光滑条件不满足，左右两截面可相对转动，,xal,xaBBvv左右BB左右例2求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程)()(xLPxM写出微分方程并积分应用位移边界条件求积分常数()()EIvMxPLx211'()2EIvEIPLxC3121()6EIvPLxCxC321(0)06EIvPLC211(0)'(0)02EIEIvPLC322161;21PLCPLC解：xxPLABv0,0,0xv(1)(2)写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线3233)(6)(LxLxLEIPxv3max()()3PLvvLEI2max()()2PLLEI最大挠度及最大转角xvPL22)(2')(LxLEIPvxmax例3简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程，并求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI，l=a+b，ab。解：1）由梁整体平衡分析得：0,,AABFbFaHRRll2）弯矩方程10xaAC段：222()AMxRxFxaCB段：ab1x2xACxARBRABBF111,AFbMxRxxl2axl22(),FbxFxalHA3）列挠曲线近似微分方程并积分111()FbEIvMxxl121111()2FbEIvEIxxCl1311116FbEIvxCxDlAC段：10xa2222()()FbEIvMxxFxal22222222()()22FbFEIvEIxxxaCl23322222()66FbFEIvxxaCxDlCB段：2axl111,AFbMxRxxl222()(),FbMxxFxalab1x2xACxARBRABBFl4）由边界条件确定积分常数22,()0xlvl110,(0)0xv代入求解，得位移边界条件光滑连续条件1212,()()xxaaa1212,()()xxavava2212()6FbCClbl120DD121111()2FbEIvEIxxCl1311116FbEIvxCxDl22222222()()22FbFEIvEIxxxaCl23322222()66FbFEIvxxaCxDl10D（1）3322()066FbFllaClDl（2）212FbaCl222FbaCl（3）3116FbaCaDl3226FbaCaDl（4）ab1x2xACxARBRABBFl5）确定转角方程和挠度方程12221()26FbFbEIxlbll132211()66FbFbEIvxlbxllAC段：10xa2222222()()226FbFFbEIxxalbll33222222()()666FbFFbEIvxxalbxllCB段：2axl（1）（2）（3）（4）ab1x2xACxARBRABBFl6）确定C截面的挠度：7）确定A截面转角：222()6cFabvlabEIl将x1=a代入v1或将x2=a代入v222()6AFblbEIl将x1=0代入（1）式：ab1x2xACxARBRABBFl132211()66FbFbEIvxlbxll12221()26FbFbEIxlbll2222222()()226FbFFbEIxxalbll33222222()()666FbFFbEIvxxalbxll叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。)()()()()(221121iinnnPPPPPPP)()()()()(221121iinnnPvPvPvPvPPPv§10-3叠加法求梁的挠度与转角计算时可查表10-1（p194）。叠加原理适用条件：小变形、材料服从胡克定律。例4按叠加原理求A点转角和C点挠度。解、载荷分解如图查梁的简单载荷变形表：36CPPavEI24APPaEI4524CqqavEI33AqqaEIqqPP=+AAABBBCaa36CPPavEI24APPaEI4524CqqavEI33AqqaEIqqPP=+AAABBBCaa叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqa624534cqcPCvvv例5按叠加原理求B点转角和挠度。解、载荷分解如图41()8BqabvEI31(),6BqabEI2'''BBBCCvvvbv433(34)8624qaqabqaabEIEIEIBqabA''Bv'BvcvCBqCabABqCabA=+（1）（2）（1）（2）3,6cqaEI48cqavEI326BcqaEI查梁的简单载荷变形表：叠加：41()8BqabvEI31()6BqabEI12BBB32(34)24BqavabEIBqabA''Bv'BvcvCBqCabABqCabA=+（1）（2）（1）（2）326BqaEI12BBBvvv43()(34)824qabqaabEIEI33()66qabqaEIEImaxvv一、梁的刚度条件其中[v]称为许用挠度。§10-4梁的刚度条件及提高梁刚度的措施建筑工程中的梁主要是强度条件控制，即按强度条件设计出梁的截面尺寸，然后进行刚度校核。刚度条件就是将最大挠度控制在一定范围内，而对转角一般不要求。建筑钢梁的许可挠跨比：11~2501000vl例6图示一圆木桁条，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁条的容许挠度[v]=l/200,试校核此桁条的刚度。qBAlvmax444cm8956462.1114.364dIEIqlv38454max解：查表vllEIqlv6.1411089510103846.310