圆孔的孔边应力集中

§4-7薄板圆孔应力集中一、孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。特点：a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）b.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。二、分析薄板（无限大）长度与高度孔径。略去体力分量，试求{σ}。孔半径a..aq0=2q2q薄板可采用直角坐标，但圆孔采用极坐标较方便a+qqqqqqqxy0Aqqqaxyqqrr0问题可转化为两组问题（a）（b）（a）为均匀应力场中由小圆孔引起的应力集中问题。在远离孔的边界上受到x和y方向的均匀拉伸作用。应力强度为q。（b）为在远离孔的边界上受到x方向的均匀拉伸、y方向均匀压缩。为研究孔边问题。采用极坐标将薄板直边变换为圆边（采用极坐标方便）取ba,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的圆环研究（a）情况下，在半径为b的圆周上，各点受力状态都是两向等拉状态，即x=q，y=q，xy=0，由坐标变换式（4-7）)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr得：r=q，=q，r=0则问题转化为：qxyoab内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界上受法向均布压力q。根据（4-14）当ba时，（a/b=0）0)1()1('22'22'rraqraqr（4-17）qqqaxyqqrr0（b）情况下，x=q，y=-q，xy=0，由坐标变换式（4-7）得：则问题转化为：2sincossin22cossincos22qqqqqbrrbrr)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222xyxyrxyyxxyyxr内半径为a，外半径为b的圆环，在外边界上受径向分布面力qcos2，环向分布面力-qsin2。xyoqcos2-qsin2非轴对称问题采用半逆解法：A）根据圆环外壁处的面力假设σr为某种函数，并求：r,2cos)(111222rfrrrr2sin)()1(2rfrrr从外壁面力研究，设由上二式，可看出：（c）2cos)(rf(B)检查是否满足（4-6），并求待定函数：将（c）代入（4-6），得：02cos)(9)(9)(2)(32223344drrdfrdrrfdrdrrfdrdrrfd由于θ的任意性，必有：ttttDeCBeAetfpppppppptftftftfrterrfrrfrrfrrf2244321234'''''')4('3''2)3()4()(4,2,2,0:01644:0)(16)(4)(4)(:ln,::0)(9)(9)(2)(根特征方程方程变为引入代换欧拉型方程2cos)(.,,,)(::ln224224DrcBrArDCBADrcBrArrfrt为任意常数通解还原用(c)由（4-5）式，求应力分量：2sin)22(2cos)212(2cos)42(4224242rDrcBArrDBArrDrcBrr并求待定常数是否满足应力边界检查,).(D062260|06420|42242aDacBAaaDacBararrarr内边界qbDbcbAbqbDbcBbrbrrbrr262262sin2|26422cos2|042200420外边界xyoqcos2-qsin28642446264222)()(4)(6)(41])(1[2])(1[])(4)(31[2])(1[)(:babababapbapqaDbapqaCbabapqBbabapbqA其中解此代数方程2,,2,0:0,42qaDqaCqBAbaab得出时当故应力分量：])(321[2sin)31)(1(2sin])(31[2cos])(341[2cos)]31)(1[(2cos422222244222222baraqraraqraqbaraqraraqrrr（4-18）齐尔西解答状况根据叠加原理)194()31)(1(2sin2)31(2cos2)1(2)31)(1(2cos2)1(2)().(.322224422222222raraqraqraqraraqraqbaorroooor讨论：.3,33|.|.)2cos21(|).1(090max0应力集中系数倍提高了孔边最大应力比无孔时孔边oarqqo3qoqoqo3qoqoqoyx-qo%16.0625/1%425/1:5.,54)2(4422raraarqyar时轴上应力就接近于均布在时当孔边应力分布如图简化为)3(2sin2)2cos1(2)2cos1(2:)194(000rra由叠加法可求：q2=q1+221qq221qq221qq221qq)()(.有圆孔远离边界问题应变任意的平面应力b12..,,)(,:2211321问题解决回到上述令总可求出主应力qq严格地说是有误差的，但解答有实用价值