以小见大－用好函数定义域

第1页共4页以小见大——用好函数定义域慈溪市三山高级中学315300黄启明函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终。函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途。在解函数题中强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的思维品质是十分有益的。本文结合数例谈谈如何用好函数定义域。1确定函数定义域的原则当函数y=f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合。当函数y=f(x)用图像给出时，函数的定义域是指图像在x轴上投影所覆盖的实数的集合。当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合。当函数y=f(x)用实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。基本上可分为自然定义域与限定定义域两类：如果只给函数的解析式（不注明定义域），其定义域应为使解析式有意义的自变量的取值范围，称为自然定义域；如果函数受应用条件或附加条件所制约，其定义域称为限定定义域。定义域经常作为基本条件（或工具）出现在高考试题中，通过函数性质或函数应用来考查具有隐蔽性，不为人们所注意，即主要求限定定义域，所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点，以先分析定义域来帮助解决问题。2函数定义域的解题功能2.1导向功能函数的定义域对许多数学问题的求解，有着明显的导向作用，优先考虑定义域，有助于启迪思路，理顺解题线索。【例1】解方程211232xx分析：用常规方法求解，难以奏效，构造函数，从定义域入手，问题不攻自破。简解：考虑函数f(x)=21123xx,定义域为|11xxx或当x＝－1时，f(-1)=2当x1时，易证f(x)为增函数，故有f(x)f(1)=2132原方程的解为1x第2页共4页2.2简化功能巧用函数的定义域，可以避免复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。【例2】判断函数f(x)=22|2|2xx的奇偶性。分析：从定义域入手可化简解析式。简解：函数的定义域为2,00,2f(x)=22xxf(－x)＝－f(x)()yfx为奇函数2.3显隐功能从函数的定义域出发，分析题目的结构特征，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。【例3】已知22326xyx,求22xy的最大值。分析：已知等式有两个作用，一是可将2y用x表示—消元，二是确定x的取值范围—定义域。简解：由22326xyx得22332yxx20y23302xx得02x2222231933222xyxxxx，0,2x2.4制约功能函数由定义域和对应法则确定，函数图案和性质受定义域制约，因此从定义域出发研究函数问题是一种行之有效的方法。【例4】求函数f(x)=2cossin()42xx的递减区间。分析：三角变形是定义域基础上的恒等变形。第3页共4页简解：f(x)=2sin()24cos()42sin()42xxx其定义域为|2,2xxkkZ减区间为5(4,4),22kkkZ3函数定义域的外延3.1数列问题函数的定义域实质是变量的允许值范围，在高中数学的其他内容也有涉及变量的，都应及时考虑其取值范围，在数列题中，n就是一个变量，应关注n的取值范围解题。【例5】已知数列na满足*(),2nnnnnSanNSa是的前n项和，2a＝1，求nS。简解：当2n时，1()2nnnnSSS12nnSnSn312341232,(3)345nnSSSnnSSSn22,(3)nSnSn（n-1）120,1SS(1)2nnnS*()nN3.2解析几何问题在解析几何求曲线的方程中，动点P(x,y)就是一个变量，所以在求出的轨迹方程中应考虑其纯粹性。【例6】设抛物线24ypx(p0)的准线与x轴的交点为M，过点M做直线l交抛物线于A，B两点，求线段AB中点的轨迹方程。简解：设P(x,y)第4页共4页M(-p,0)可设l：y=k(x+p)再联立方程24ypx得到22222(24)0kxkppxkp2242222(24)416160kpkpkpp21110kkk且又212222xxpkpxk2222()pkppykpkk消去k得：22()ypxp(xp)3.3排列组合题在排列数与组合数中，n也是一个变量，应考虑n有意义的取值范围。【例7】求值591nnnnCC简解：联立方程5－n≧09－n≧0n≧5-nn+1≧9-n得到4≦n≦5当n＝4时，原式＝5当n＝5时，原式＝16定义域虽小，但它对数学问题的解决有一石激起千层浪的效应，忽视定义域对解题的影响，很有可能会落个“一着不慎，满盘皆输”的下场。