表象与变换-Oriyao

第第四四章章表表象象与与变变换换内容简介：本章讨论各种不同的表象以及它们之间的变换关系。这就如同，在数学中给定坐标系后，应该讨论坐标系之间的坐标变换一样。另外，我们还曾指出，一个量子态，相当于一个态“矢量”。在数学中，一个矢量，在选定坐标系后，可以用它在该坐标系中的一组分量来表示。但是，一个矢量，也可以用一个矢量符号表示。这种表示并不依赖于坐标系的选取，但同样可以进行各种矢量运算。同样，在量子力学中，一个态矢量也可用类似的方法表示，这就是狄拉克符号。在本章将介绍这种表示法以及运算规则。除表象外，本章还要介绍一些有关绘景的知识。§4.1矢量空间§4.2态和算符的表象表示§4.3量子力学公式的矩阵表示§4.4幺正变换§4.5狄拉克符号§4.6线性谐振子粒子数表象§4.7绘景的分类1.线性矢量空间定义：无穷多个抽象的数学元素的集合，规定了下列两种运算，则称这个集合为一个线性矢量空间。运算一：集合内任意两个矢量和，总有一个确定的与之对应，记作这种对应法称为加法。加法运算满足下列条件：①交换律②结合律存在唯一零矢量，对任意矢量都有④对集合中的任意矢量，都有唯一的逆矢量存在，满足运算二：规定一种确定的对应方法，使得中的任意矢量和数域中任意数，在集合中总有一个矢量与之对应，这种对应法则叫数乘，记作数乘满足下列条件：②③2.线性相关与线性无关线性无关：对于线性矢量空间个矢量集合，若线性组合，只有当所有系数时才成立，则称个矢量线性无关，否则个矢量称线性相关。一个线性矢量空间中可以找到的线性无关矢量个数的最大值，称为该线性矢量空间的维数。3.内积运算规定一种确定的对应方法，对于线性矢量空间中的任意两个矢量和，总有一个复数与之对应，且满足下列条件，则称为矢量的内积：4.标准正交基作为标准正交基，必须满足下列条件：①是线性无关的;②③具有完备性：内积空间的任意矢量可以表示为4.2态和算符的表象表示在量子力学中，态和力学量的具体表达方式称为表象。假设体系的状态在坐标表象中用波函数,xt来描述，前面已经介绍过动量的本征函数为且,,pxtCptxdp其中*,,pCptxtxdx从前面的讨论知道：2,xtdx是在,xt所描述的态中在xxdx范围内测量粒子位置的几率；同样2,Cptdp是在,xt所描述的态中在ppdp范围内测量粒子动量的几率。,xt和,Cpt描述同一个状态，,xt是这个状态在坐标表象中的波函数，,Cpt是同一个状态在动量表象中的波函数。1.态的表象表示（1）坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。以一维的x坐标为例。算符ˆx的本征方程是ˆxxxxxx本征函数是xx。量子态x总可按ˆx的本征函数系展开，得展开系数x就是该量子态在x表象的表示，即波函数。（2）动量表象以动量算符的本征函数为基底构成的表象称为动量表象。其本征态为将量子态x按px展开：12,,1,2pipxhxtCptxdpCptedp展开系数,Cpt就是动量表象中的波函数。*1,2ipphppxtxxdxedppp动量表象也可以用动量为自变量表示所以，在动量表象中，粒子具有确定的动量p的波函数是以动量p为变量的函数。设有某一线性厄米算符ˆQ。假定算符ˆQ具有分离本征值谱。它的本征方成为ˆnnnQrQr将波函数,rt按ˆQ算符得正交归一本征函数系nr展开,nnnrtatr式中*,nnatxtxdx设,xt和nx都是归一化的，那么就有由此可知，2nat是在,xt所描述的态中，力学量Q具有确定值nQ的几率。它具有和,xt统计解释完全相同的几率解释。因此，我们可以用一组系数nat代替,xt来描述该状态，将系数12,,,natatat写一个列矩阵，则,xt在Q表象中的表示为归一化条件：†*1nnnatat如果力学量Q除具有分立本征值12,,,nQQQ外还具有连续本征值q对应的归一化波函数是12,,,,nqxxxx则,nnqqnxtatxatxdq式中*,nqatxtxdx归一化条件**1nnqqnataxataxdq2qat表示在,xt中测量力学量Q所得结果在ppdp之间的几率。若算符ˆQ的本征值谱连续，则相应的表达式为,xtatxd*,atxtxd*xxdx波函数,xt在ˆQ表象中用相应的连续列矩阵表示。从上面的讨论可知，同一个态可以在不同的表象中用波函数来描述，所取的表象不同，波函数的形式不同，物理意义不同。总结上述，可以得出下列对应关系：I.量子态希尔伯特空间中的态矢量；II.波函数态矢量在特定基底中的分量，可以用列矩阵或函数表示；III.任意算符ˆQ的本征函数系Q表象的基底；IV.不同表象不同基底，不同坐标系；V.本征函数基矢；VI.厄米算符的本征函数系一组完备的基矢。2.算符的表象表示前面我们讨论了态在各种表象中的表示，下面我们讨论算符在各种表象中的表示。设算符ˆ(,)Fxix作用于波函数(,)xt后，得出另一波函数,xt，在坐标表象下记为：ˆ,(,),xtFxixtx我们来看这个方程在Q表象中的表达式。先设Q只有分离的本征值12,,,nQQQ，对应的本征函数是12(),(),,()nxxx将(,)xt和,xt分别按()nx展开：(,)()()mmmxtatx,()()mmmxtbtx将（4.2.22）和（4.2.23）代入（4.2.21）得：ˆ()()(,)()()mmmmmmbtxFxiatxx上式两边左乘*()nx再对x在整个区域内积分得：**ˆ()()()()(,)()()mnmnmmmmbtxxdxxFxixdxatx利用()nx的正交归一性*,()()nmnmxxdx得：*ˆ()()(,)()()mnmmmbtxFxixdxatx令*ˆ()(,)()nmnmFxFxixdxx则()()nnmmmbtFat上式就是（4.2.21）在Q表象中的表达式。()mat和()nbt分别是(,)xt和(,)xt在Q表象中的表示。nmF是算符ˆF在表象中的表示。这一组方程用矩阵形式写出为：所以，算符ˆF在Q表象中是一个矩阵，它的矩阵元是nmF量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，现在我们来看厄米算符在表象中的矩阵表示有什么特点。由**ˆˆFdxFdx†**ˆˆ(){()}()()nmnmnmmnnmFFxFxdxxFxdxF上式表明，F矩阵的第m列第n行的矩阵元等于第n列第m行矩阵元的复共轭，此即厄米矩阵。所以，表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。现在要问：算符在自身表象中的矩阵表示又取什么形式？()nx是算符ˆQ的本征函数，则：**,ˆ()(,)()()()nmmmnmmmnmQxQxixdxxxQxdxQ上式表明，算符在自身表象中是一个对角矩阵。如果Q只具有连续分布的本征值q，上述讨论仍然成立，只是、a、b的脚标由可数的m、n换成连续变化的q，所有的求和要换为对q的积分，算符ˆQ在Q表象中仍旧是一个矩阵，矩阵元为：*ˆ()(,)()qqqqFxFxixdxx例如，在坐标表象中ˆF的矩阵元为ˆ()(,)()ˆ(,)()xxFxxFxixxdxxFxixxx在动量表象中ˆF的矩阵元为：*ˆ()(,)()ppppFxFxixdxx如果ˆF既有分立的本征值，又有连续分布的本征值，那么在Q表象中，算符得矩阵元既具有可数的行和列（对应分离本征值部分），又有用连续的变化的下标来表示的行和列（对应连续本征值部分）。4.3量子力学公式的矩阵表示现在我们可以用任何一个力学量Q的表象来叙述量子力学的规律。为简单起见，我们只讨论Q具有分立值的情况。1.平均值公式先将波函数,xt用Q的本征函数展开，并写出其共轭表达式(,)()()nnnxtatx**(,)()()mnmxtatx将上式代入平均值公式，得：***,**,*,ˆ(,)(,)(,)ˆ()()(,)()()ˆ()()(,)()()()()mmnnmnmmnnmnmnmnmnFxtFxixtdxxatxFxiatxdxxatxFxixdxatxatFat上式写为矩阵形式111121221222***1212()()(),(),,()()mmnnnnnmatFFFatFFFFatatatatFFF简写为†FF2.本征值方程算符ˆ(,)Fxix的本征值方程ˆ(,)(,)(,)Fxixtxtx其矩阵表达式可由（4.2.30）式得出1111121222122212()()()()()()mmnnnnnmatatFFFatatFFFatatFFF11112122122212()()0()mmnnnnmatFFFatFFFatFFF即()()0nmnmnnFat这个方程组有非零结的条件是系数行列式为零，即1112121222120mmnnnmFFFFFFFFF（4.3.10）式称为久期方程。与求解久期方程可以得到一组值：121,,,,，它们就是ˆF的本征值。把求得的i分别代入方程，就可以得到与i对应的本征矢。于是矩阵力学将求解本征值问题归结为求解久期方程的根。而在波动力学中，求本征值和本征方程的问题则简化为在初始条件和边界条件下求解微分方程。3.薛定谔方程将(,)()()nnnxtatx代入薛定谔方程，得：ˆ()()(,)()()nnnnnniatxHxiatxtx以*()mx式两边，并对全空间积分，得：()()nnmnndiatHatdt其中*ˆ()(,)()nmmnHxHxixdxx是哈密顿算符ˆH在Q表象中的矩阵元。将上式写为矩阵形式：或简写为和H均为矩阵4.4幺正变换和一个矢量可在不同坐标系中表示相似，同一个量子态或者同一个算符也可以在不同表象中表示。在高等数学中，这些不同坐标系的表示可通过同一个坐标变换把它们联系起来。在量子力学中，这些态或算符的不同表示也可以用表象变换把它们联系起来。而且，物理规律应当具有协变性：即物理规律与所选择的用以描述它们的坐标系无关。同样，在量子力学中算符的本征值也应与所选用的表象无关，因为本征值就是在相应的本征态中观测算符所对应的力学量时的观测值，是实验测量所得到的值。设算符ˆA的正交归一本征函数系为12(),(),xx，算符ˆB的正交归一本征函数系为12(),(),xx，则算符ˆF在A表象中的矩阵元为：*ˆ()()nmmnFxFxdx在B表象中的矩阵元为：*ˆ()()FxFxdx为找出A表象和B表象之间的关系，将B表象中的本征函数()x及*(