国债与GDP关系分析模型论文

兰州交通大学2014年大学生数学建摸竞赛论文题目：国债与GDP之间关系的统计分析（A）参赛组号：参赛人1：姓名刘家林学院交通运输学院班级交通工程1201班参赛人2：姓名王铭铭学院交通运输学院班级交通运输1203班参赛人3：姓名周地学院通运输学院班级交通工程1201班论文编号：国债发行额与国内生产总值（GDP）关系的统计分析摘要本文是对国债发行额与国内生产总值（GDP）关系的研究，即在给定国内生产总值（GDP）以每年7%的速度增长，国债随着国内生产总值（GDP）成比例增长的条件下，通过对中国1992年到2012年国债发行额与国内生产总值（GDP）进行统计分析，建立国债发行额与国内生产总值（GDP）模型。本文通过建立国债发行额与国内生产总值（GDP）的一元线性回归模型，用离散问题连续化、协整理论和最小二乘法来解决问题，建立两个模型。首先，对经济学名词进行解释：①国债：国家发行的债券，是中央财政收入的一种补充形式；②国内生产总值（GDP）：在一定时期内（通常是一年）一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，它不但可反映一个国家的经济表现，还可以反映一国的国力与财富。其次，建立模型：模型Ⅰ：做出线性关系假设后，通过对中国1992—2012年国债发行额与国内生产总值（GDP）进行统计分析验证，建立了以国债发行额为因变量（y），国内生产总值（GDP）为自变量（x）的一元线性回归模型，对模型进行显著性检验。模型Ⅱ：基于模型Ⅰ检验结果做出模型改进。数据分析知国内生产总值（GDP）增长速度远远大于国债增长速度，通过取对数减小数量级的差距，建立以国债发行额（y）对数（yln）为因变量，国内生产总值（GDP）（x）的对数（xln）为自变量的一元线性回归模型:tubxaylnln。最后，根据较优数学模型Ⅱ，做出预测：理论上ln1.07a时，如果不进行宏观调控国债发行总额将超过国内生产总值（GDP）。同时查阅相关资料，利用本文建立的一元线性回归模型对我国的国债发行额与国内生产总值（GDP）的关系加以分析，得到一个能够较为准确表现中国国债与国内生产总值（GDP）关系的模型：xyln6889.09665.5ln，能够根据国内生产总值（GDP）较为准确的预测国债的发行额。第1页1.问题的提出国内生产总值（GDP）是指在一定时期内（通常为一年），一个国家或地区的经济中所生产出的全部最终产品和劳务的价值，它不但可反映一个国家的经济表现，还可以反映国力与财富。国债作为中央财政的一种补充形式，其发行规模与ＧＤＰ，常存在正相关性，即ＧＤＰ增长国债随之增长，如何用准确的数学模型表述其关系，这对国债发行规模的预测和控制有深远的意义。本文试图通过数据分析建立它们之间的数学模型，利用计算机的高速运算的优势，对国债发行规模进行预测，观测某一时间国债是否会超过ＧＤＰ，并研究其经济意义。2.问题的分析⑴相关资料表明：ＧＤＰ是可控制或可观测的变量，国债（ＧＺ）是无法预先作出量的准确计算；ＧＤＰ在一定程度上决定国债发行规模，这符合统计回归模型的研究范围。再者题目有“国债（ＧＺ）随ＧＤＰ成比例增长”的表述；再搜集数据作散点图，发现各点近似均匀分布在一条直线的两侧。可以大致确定同一时刻的GDP与国债（ＧＺ）发行规模之间有线性关系，因此建立一元线性回归模型进行关系讨论，模型简化为tubxaylnln（ａ，ｂ为参数；tu:随机扰动项），理论上可以通过Gauss的最小二乘法估计参数，模型是可行的。⑵已知Ｔ＝0时刻，国债Ｎ０，GDP为M0及GDP指数增长模型，代入⑴的线性关系中建立国债ＧＺ与时间T关系式。⑶查阅资料表明，一定时期内国债因无法完全偿清会发生累加，因此某年的国债累积额很可能超过GDP，譬如，日本截至2010年国债超ＧＤＰ约２２９％。做出重要假设：在Ｔ＝0至T＝ｔ时间段国债发生累加，总额Ｓ。通过微积分（离散问题连续化）得出Ｓ—Ｔ关系，与已知的ＧＤＰ—Ｔ关系作比得到关系式Ｈ（ｔ），求解Ｈ（ｔ）＝１可以做出国债是否会超过GDP的预测。⑷通过计算机拟合数据对模型进行显著性分析，鉴于GDP与国债增长数量级相差太大，取对数进行了模型优化。3.模型假设（1)国债规模受诸多因素影响，但GDP是国债发行量的最主要影响因素；（2)GDP每年以７％增长率增长，为指数增长模型；国债规模随GDP成比例增长，即国债与GDP正相关；第2页（3)国债在一定时期因无法完全偿清会发生累加；假设Ｔ年内国债发生完全累加（已还清国债量忽略），国债总额Ｓ。4.符号说明x：国内生产总值（GDP）；y：国债发行额；a：国债GZ随GDP成比例增长的系数；b：国债GZ与GDP的修正系数；tu:随机扰动项；S:国债随年积累总和。5.模型建立及求解5.1初步设想模型根据题设：国债GZ随GDP成比例增长，故先假设有线性关系：tubxay5.2搜集中国统计年鉴1985-2007数据初步验证模型：我国国债发行额与国内生产总值（ＧＤＰ）单位：亿元年份国债发行额（Ｙ）国内生产总值（X）198589.8590161986138.2510275.21992669.6826923.51993739.2235333.919941175.2548197.919951549.7660793.719961967.2871176.0619972476.827897319983310.9384402.319993715.0389677.120004180.199214.620014604109655.220025679120332.720036153.53135822.820046879.34159878.320068883.3216314.5第3页5.2.1运用MATLAB做散点图及回归图00.511.522.5x105010002000300040005000600070008000900010000近似得到国债随GDP呈线性增值，其参数通过最小二乘法可以估计。但是对任意给定的数据，都可以通过计算机求出参数，因此国债与GDP是否有确切的线性关系，还需对该一元回归模型进行相关系数检验。5.2.2回归方程显著性分析：基于相关系数法（t检验法)：222R=iiiyyyyＭＡＴＬＡＢ求解，运行程序，输出如下：s=1.0e+005*0.37140.00180.00006.3911可决系数2R=0.3714太低，2R越接近1表示变量相关性越高。5.2.3结果说明：找数据多次进行计算机拟合曲线，显著性分析结果均表明：国债与ＧＤＰ增长关系，建立一元线性模型是不准确的，模型需要改进。第4页5.2.4模型改进查阅资料表明，模型显著性太低，可能是用于检验的样本太少，或变量间线性关系不明显。做出以下改进：（1）查阅相关资料，建立数学模型，求解中国GDP与国债发行规模的关系：收集中国1991-2012年GDP和国债的数据①，如下表：①：数据来源于国家统计年鉴（2）分析数据：运用Eviews软件进行数据处理，得到下列图像：年份国债发行额国内生产总值（GDP）1992460.7826923.481993381.3135333.9219941137.5548197.8619951510.8660793.7319961847.7771176.5919972411.7978973.0319983808.7784402.281999401589677.052000465799214.5520014884109655.1720025934.3120332.6920036280.1135822.7620046923.9159878.3420057042184937.3720068883.3216314.43200723139.1265810.3120088558.2314045.43200917927.24340902.81201019778.3401512.8201117100473104.05201216154.2519470.1第5页图⑴GDP和国债随年份变动的线图由图⑶可以看出，GDP增长的速度远远大于国债的，为了消除这种数量级的差距，因此可以取对数消除这种影响。（3）绘制lnx和lny的散点图：图⑵lnGDP和lnGZ的散点图由图⑷的看出，lnx与lny之间的线性关系更明确。第6页⑷最终确立国债与GDP关系模型：tubxaylnln注：a、b为参数，ut为随机扰动项5.3若已知第0年的0XM,0YN,进行参数求解：（随机扰动项ut忽略）①将（0M，0N）代入lnlnyaxb解除00lnaNbM，所以00lnlnlnaNyaxM②最小二乘法估计参数a:偏差平方和2200(,=lnlnnntttQabuyaxb）微分极值原理令002lnlnln0nttatoNQyaxaM解得020lnlnlnlnlnlnntttnttxxyyaxx5.4预测国债是否会超过GDP①假设国债在时间段T（0，t)内未完全偿清，发生完全累加，累加额为S。②已知GDP增长率7%，呈指数增长模型01.07txM，故00001.07taataNStMM④判断StXt与1的关系：设函数100101.0711aln1.071.07atatMStNtHtXtM⑤对Ht求导数，并运用零点定理分析，Ht的零点与a值有关，具体可以近似计算得=1ln1.07aHt（a为国债与GDP回归模型的系数）综上所述，当ln1.07a时，国债规模总有一天会超过GDP；但是国债国模太小又无法满足国家建设的需求。第7页5.5查阅相关资料，利用数学模型，求解中国GDP与国债的关系首先收集中国1991-2012年GDP和国债的数据①，如下表1：①：数据来源于国家统计年鉴5.5.1分析数据检查数据的相关性：图⑶GDP和国债的相关性年份国债发行额国内生产总值（GDP）1992460.7826923.481993381.3135333.9219941137.5548197.8619951510.8660793.7319961847.7771176.5919972411.7978973.0319983808.7784402.281999401589677.052000465799214.5520014884109655.1720025934.3120332.6920036280.1135822.7620046923.9159878.3420057042184937.3720068883.3216314.43200723139.1265810.3120088558.2314045.43200917927.24340902.81201019778.3401512.8201117100473104.05201216154.2519470.1第8页图⑷GDP和国债的散点图根据以上图⑴与图⑵，可以看出，GDP与GZ间大致呈线性关系。图⑸GDP和国债随年份变动的线图由图⑶可以看出，GDP增长的速度远远大于国债的，为了消除这种数量级的差距，因此可以取对数消除这种影响。第9页5.5.2绘制yln与xln的散点图图⑹lnGDP和lnGZ的散点图5.5.3检验yln与xln的相关性图⑺lnx与lny相关性5.5.4中国国债与GDP关系模型的建立tubxaylnln注：a、b为参数，ut为随机扰动项第10页5.5.5模型参数的求解图⑻用最小二乘法对模型进行参数估计参数估计结果为：xyln6889.09665.5lnt=13.56589040.02R8989.02Rn=21F=178.8366P=0.000.05DW=1.2242模型的自相关性检验：由图⑻的检验结果得出，DW统计量的值为1.2242，查表得dL=1.221，dU=1.420dLDWdU,无法判断模型是否存在自相关。斜率系数的经济意义：