第三节高阶微分方程

第三节高阶微分方程一.几类特殊的高阶微分方程1.可直接积分的方程)(xfy解dxxfy)(dxcdxxfy])([1积分再积分(其中为任意常数)21、cc1c2c例1求方程xey2的通解.解dxeyx2dxceyx)21(12积分再积分(其中为任意常数)21、ccxe221xcex12411c2c2.不显含未知函数的方程y0),,(yyxF解令zy则0),,(zzxFy0),,(yyxF解0),,(zzxF得),(1cxz即),(1cxy故dxcxy),(1(其中为任意常数).21、ccz2c例2求方程0yyx的通解.解令zy则0zzxzy0yyx解得dxxecz)1(1即xcy1故xdxcy1xc1.221cxc01zxz0),,,,()()1()(nkkyyyxF解令zyk)(则0),,,,()(knzzzxF解得),,,(21kncccxz即),,,,(21)(knkcccxy故).,,,,(21ncccxy0),,,,()()1()(nkkyyyxF2.不显含未知函数的方程y例3求方程0)3()4(yxy的通解.解令zy)3(则0zzxzy)4(解得dxxecz)1(1即xcy1)3(故xc10)3()4(yxy221cxcy3231cxcxcy.432241cxcxcxcy01zxz3.不显含自变量的方程x0),,(yyyF解令zy则0),,(dydzzzyFdxdzy0),,(yyyF解得),(1cyz即),(1cyy故dxdycy),(110),,(dydzzzyF亦),(1cydxdydxdydydzdydzz.2c解令zy则dydzzdxdydydzdxdzy解得ycz1即故.12xcecy例4求方程0)(2yyy的通解.0)(2yyy02zdydzyz01zydydzycy1二.n阶线性微分方程1.n阶线性微分方程的一般形式)()()()()(1)2(2)1(1)(xfyxayxayxayxaynnnnn如果0)(xfn阶线性齐次微分方程如果0)(xfn阶线性非齐次微分方程)(xfqyypy重点讨论2.n阶线性微分方程解的基本定理(1)线性相关、无关设有个函数k)(,),(),(21xyxyxyk在区间),(ba内有定义,如果存在个不全为零的常数使得恒等式kccc,,,21k0)()()(2211xycxycxyckk对所有的都成立,则称函数组),(bax)(,),(),(21xyxyxyk线性相关;否则称为线性无关.kxxx,,,,12线性无关.xx22sin,cos,1线性相关.例如(2)定理两个函数)(),(21xyxy线性相关)(),(21xyxy成正比例.证因两个函数)(),(21xyxy线性相关则存在不全为零的数21,cc使得0)()(2211xycxyc)()(2121xyccxy)()(),(21xyxy成正比例)()(21xkyxy则0)()(21xkyxy故相关.(3)定理如果)(,),(),(21xyxyxyk是齐次方程的个解,则它们的线性组合)1(nkk)()()()(2211xycxycxycxykk(其中是任意常数)kccc,,,21也是齐次方程的解.(4)定理n阶齐次方程有n个线性无关的解.附:(3)定理证明0)()()()(1)2(2)1(1)(yxayxayxayxaynnnnnkkycycycy2211)(ny1)1(ny)(1xay)(2xany)(1xany)(xan)()(22)(11nkknnycycyc)1()1(22)1(11nkknnycycyckkycycyc2211kkycycyc2211kkycycyc2211+)0(5)定理如果)(,),(),(21xyxyxyn是齐次方程的个线性无关的解,则齐次方程的通解为:n)()()()(2211xycxycxycxynn(其中是任意常数).nccc,,,21(6)定理如果)(xy是非齐次方程的某个特解,)(,),(),(21xyxyxyn是齐次方程的n无关的解,则非齐次方程的通解为:个线性)()()()()(2211xyxycxycxycxynn(其中是任意常数).nccc,,,213.二阶线性常系数齐次微分方程的通解0qyypy一般形式讨论:设rxey是方程的解,代入上式得02rxrxrxqepreer02qprr即rxey是方程的特解02qprrr是的根特征方程特征根或值分三种情况讨论:(1)当042qp时特征方程有两个不相等的实根21,rr齐次微分方程有两个不同的特解,11xreyxrey22又,11xreyxrey22线性无关)(21ceexrxr故齐次微分方程的通解为xrxrececy212102qprr0qyypy(2)当042qp时特征方程有两个相等的实根rrr21齐次微分方程有特解rxey1又rxxey2且它们线性无关)(cexerxrx故齐次微分方程的通解为rxexccy)(21也是齐次微分方程的特解02qprr0qyypyrxxey2也是齐次微分方程2y2y2ypq1+)0rxxerxrxxreerxrxexrre220qyypy的解(3)当042qp时特征方程有两个共轭复根ir微分方程有两个不同的特解xiey)(1xiey)(2)sin(cos)(xixeexxi)sin(cos)(xixeexxi则xeyxcos1xeyxsin2是微分方程线性无关的解故齐次微分方程的通解为)sincos(21xcxceyx(1)当042qp时xrxrececy2121(2)当042qp时rxexccy)(21(3)当042qp时)sincos(21xcxceyx总结例1求方程032yyy的通解.解特征方程0322rr特征根3121rr齐次微分方程的通解为.321xxececy例2求方程096yyy的通解.解特征方程0962rr特征根321rr齐次微分方程的通解为.)(321xexccy例3求方程032yyy的通解.解特征方程0322rr特征根ir、2121齐次微分方程的通解为).2sin2cos(21xcxceyx4.n阶线性常系数齐次微分方程的通解01)2(2)1(1)(ypypypypynnnnn求解步骤:(1)特征方程012211nnnnnprprprpr(2)求特征方程的n个特征根(3)查表写出通解.n阶常系数齐次线性方程特征根与通解中对应项特征根通解中对应项每一个单实根r给出一项rxce每一个重实根kr给出项k)(121kkrxxcxcce每一对共轭复单根i每一对重共轭复根i给出两项)sincos(21xcxcexkxxcxccekkxcos)[(121]sin)(121xxdxddkkk2项例4求方程052)3()4(yyy的通解.解特征方程052234rrr特征根021rr齐次微分方程的通解xccy21ir、2143).2sin2cos(43xcxcex5.二阶线性常系数非齐次微分方程的通解()()0ypyqyfxfx一般形式yyy非齐次微分方程通解为非齐次特解齐次通解求非齐次特解两种方法:待定系数法常数变易法(1)待定系数法待定系数法的基本思想:用与非齐次方程的函数)(xf形状相似但含有待定系数的函数作为微分方程的特解,并将此函数代入微分方程确定待定系数,从而得到微分方程的一个特解.)(xfqyypy的特解的试解形式)(xf的形式y的试解形式取试解的条件mmxaxaa10mmxAxAA100q)(10mmxxaxaae)(10mmxxAxAAe)(10mmxxAxAAxe)(102mmxxAxAAex不是特征根是单特征根是重特征根xBxAsincosxBxAsincos11)sincos(11xBxAx)sincos(xBxAex)sincos(11xBxAex)sincos(11xBxAxexi不是特征根i是特征根i不是特征根i是特征根例5求方程932yyy的通解.解特征方程0322rr的根3,1齐次微分方程的通解xxececy321设非齐次微分方程的特解为0Ay代入原方程得30A则非齐次微分方程的特解为3y故非齐次微分方程的通解为.3321xxececy例6求方程xxeyyy396的通解.解特征方程0962rr的根321rr齐次微分方程的通解xexccy321)(设非齐次微分方程的特解为xexAAxy3102)(代入原方程得6/1010AA则非齐次微分方程的特解为xexy3361故非齐次微分方程的通解为.61)(33321xxexexccy确定待定系数:xexAAxy3102)(xxeyyy396xexAxAAxAy3312100]3)33(2[xexAxAAxAAAy331210100]9)189()612(2[xxxeexAA3310)62(代入得从而.6/1010AA例7求方程xyyy2cos2的通解.解特征方程022rr的根1,2齐次微分方程的通解为xxececy221设非齐次方程的特解为xBxAy2sin2cos11代入原方程得20/120/311BA则非齐次方程的特解为xxy2sin2012cos203故非齐次微分方程的通解为.2sin2012cos203221xxececyxx(2)常数变易法略6.n阶线性常系数非齐次微分方程的通解)(1)2(2)1(1)(xfypypypypynnnnnyyy非齐次微分方程通解为非齐次特解齐次通解求非齐次特解两种方法:待定系数法常数变易法例8解方程xeyyyyyy25161688)3()4()5(解特征方程01616882345rrrrr解得特征根齐次微分方程的通解为xxccxxccecyx2sin)(2cos)(54321即0)4)(1(22rr11rirr232irr254设非齐次方程的特解为xeAy0代入原方程得210A则非齐次方程的特解为xey21故非齐次微分方程的通解为齐次微分方程的通解为xxccxxccecyx2sin)(2cos)(54321.212sin)(2cos)(54321xxexxccxxccecy)(.1xfy0),,(.2