竖向集中荷载作用下土中应力计算

4.4.1竖向集中荷载作用下土中应力计算1、布辛奈斯克解（半空间表面集中力作用下）Boussinesq课题：半无限弹性体表面作用竖向集中荷载P，计算任一点M的应力。图4-14直角坐标表示讨论6个应力分量和3个位移分量：法向应力：3532zFzR22225332312(2)23()()xFzxRRzzxRzRRRzRRz22225332312(2)23()()yFzyRRzzyRzRRRzRRz剪应力：5322525312(2)23()3232xyyxyzzyzxxzFxyzxyRzRRRzFyzRFxzR式中：x、y、zM点的坐标；E、弹性模量及泊松比。X、Y、Z轴方向的位移：3323(1)(12)2()(1)(12)2()(1)12(1)2FxzxuERRRzFyzyvERRRzFzwERR当采用极坐标表示M点的应力时：522232232423cos2(12)cos3sincos21cos(12)coscos21cos3(sincos)20zrtrztrtzFzFzFzFz22zrR对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成355222233122[1/]zFzFFRzzrz252]/1[123zr式中：称为应力分布系数，是r/z的函数。表4-2z=3m处水平面上竖应力计算例题4-2土体表面作用一集中力F=200kN，计算地面深度z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布，以及距F作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。r(m)012345r/z00.330.6711.331.670.4780.3690.1890.0840.0380.017z(kPa)10.68.24.21.90.80.4[解]列表计算见表4-2和4-3。表4-3r=1m处竖直面上竖应力z的计算z(m)0123456r/z10.50.330.250.200.1700.0840.2730.3690.4100.4330.444z(kPa)016.813.78.25.13.52.5图4-14土中应力分布规律分析：（1）集中力作用线上随深度减小，（2）水平方向随着r的增加而逐渐减小。（3）集中力作用点处为奇异点。（4）作用有多个集中力时，可叠加。2、等代荷载法－基本解答的初步应用由于集中力作用下地基中的附加应力σz是荷载的一次函数，因此当若干竖向集中力Fi作用于地表时，应用叠加原理，地基中z深度任一点M的附加应力σz应为各集中力单独作用时在该点所引起的附加应力总和。2niziiiFz等代荷载法－基本解答的初步应用将基底面基底净压力的分布划分为若干小块面积并将其上的分布荷载合成为小的集中力，即可应用等代荷载法进行计算。这种方法适用于基底面不规则的情况，每块面积划分得越小，计算精度就越高。4.4.2分布荷载作用下土中应力计算（1）空间问题应力与计算点处的坐标(x,y,z)有关。（如l/b10的基础，独立基础）（2）平面问题应力与计算点处的坐标(x,z)有关。（如l/b10的条形基础、路堤、土坝）4.4.3空间问题的附加应力一、矩形面积均布荷载a)矩形面积角点下dxdyzyxzpdoz2/52223)(23在基底范围内取单元面积dA=dxdy单元面积上分布荷载看作是集中力dF=podxdy集中力在M点处的竖向附加应力为：进行积分：32225/200312()lbzzozoAzdpdxdypxyz可由表4-5查得这里m=l/b，n=z/b注意：l为长边，b为短边。22222222221(12)arctan2()(1)1(1)()zmnnmmmnnmnnmn其中,角点应力系数为：表4-5矩形均布荷载角点下竖向附加应力系数表4-5矩形均布荷载角点下竖向附加应力系数（续）b)土中任意点的计算（角点法）情况1：投影A点在矩形面积范围之内z=z(aeAh)+z(ebfA)+z(hAgd)+z(Afcg)图4-20角点法示意图情况2：投影A点在矩形面积范围之外z=z(aeAh)z(beAg)z(dfAh)+z(cfAg)图4-20角点法示意图求M点应力：情况3:O点在荷载面的边缘：其中azI、azII为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。0()zoozzpⅡⅠO情况4:O点在荷载面的边缘外侧：荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ofbg）－面积Ⅱ（ofah）+面积Ⅲ（oecg）－面积Ⅳ（oedh）则：0()zccccVphbgcfoead二、矩形面积上作用三角形分布荷载求角点下M的竖向应力？将坐标原点取在荷载为零的角点上，注意b是三角形的荷载分布方向；取单元面积dA=dxdy，其上作用集中力dF=(x/b)pdxdy；称为应力系数，为n=l/b和m=z/b的函数，可由表4-8查得。22222211222222002522231)1(121)1(12)(23nmnnnmmnppnmmnmnmnzyxdxdybxpzttlbz其中，计算公式：表4-8三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数at1和at2表4-8三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数at1和at2（续1）表4-8三角形分布的矩形荷载角点下的竖向附加应力系数at1和at2（续2）荷载的组合：三、圆形面积上作用均布荷载分析步骤：采用极坐标表示，竖向附加应力z值为322225/20032(2cos)Rzcpzrdrdpraraz3/22111cRZ取a=0，则式中：c—应力系数，它是a/R和z/R的函数，见表4-9。表4-9圆形均布荷载作用下的应力系数4.4.4平面问题的附加应力一、线荷载作用下取微分长度dy荷载pdy看成是集中力，则：Flamant课题222222232223252223)(2)(2)(2)(d23zxpxzzxzpxzxpzzyxypzzxxzxzdyRpzdz5323当采用极坐标时，得2sincos2sinsincos21131RpRpRpxzxz二、条形荷载作用下土中应力a)任一点竖向应力分析步骤：荷载宽度方向取微分宽度；荷载dp=pd视为线荷载，在M点处附加应力为dz。在荷载宽度范围内积分，得：sz为应力系数,是n=x/b和m=z/b的函数,从表4-10查得。pnmnmnmmnmnmnpdzxpzdszbbzz2222022230)1()1(1arctanarctan])[(2表4-10条形均布荷载作用地基中附加应力系数