第三节 逆矩阵

逆矩阵的概念主要内容矩阵可逆的充要条件可逆矩阵的性质举例第三节逆矩阵引例矩阵多项式补充例题引例引例11矩阵与复数矩阵与复数复数可以用二维有序数组来表示，如复数a+bi可表示为(a,b)，因此，从结构上看复数是矩阵的特殊情形.在第二节我们也看到，矩阵与复数相仿，有加法、减法、乘法三种运算.我们知道，复数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢？如果有的话，这种运算如何定义，如何计算呢？这就是本节所要讨论的问题.引例引例22坐标旋转变换坐标旋转变换在平面直角坐标系xOy中，将两个坐标轴同时绕原点旋转角(逆时针为正，顺时针为负)，任何一点Ｐ在两个坐标系中的坐标分别记为（x，y）与（u，v）．则不难得到就得到一个新的直角坐标系(见图2.4)．平面上引例引例33线性变换的逆变换线性变换的逆变换设给定一个线性变换)1(,,,22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系数矩阵是一个n阶矩阵A，若记一、引例定义7设Ａ是n阶方阵，若存在n阶方阵Ｂ，使得AB＝BA＝E，（３）则称矩阵A可逆，且称B是A的逆矩阵，记作B＝A－1．如果不存在满足（３）的矩阵B，则称矩阵A是不可逆的．二、逆矩阵的概念现在的问题是，矩阵A满足什么条件时可逆？可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题．三、矩阵可逆的充要条件定理1如果n阶矩阵Ａ可逆，则它的逆矩阵是唯一的．设矩阵B与C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，　AC=CA=E，因而B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C．证毕证毕证明证明定理定理11如果如果nn阶矩阵阶矩阵ＡＡ可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．,A|A|A*11定理２n阶矩阵Ａ可逆的充要条件是|Ａ|0.如果Ａ可逆，则其中Ａ为矩阵Ａ的伴随矩阵.设矩阵B与C都是A的逆矩阵，则有AB=BA=E，　AC=CA=E，因而B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C．证毕证毕证明证明定理定理11如果如果nn阶矩阵阶矩阵ＡＡ可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的．矩阵是唯一的．由推论若AB=E（或BA=E），则B=A-1.可得下述推论：｜A｜｜B｜=｜E｜=１，因而A-1存在，于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.证毕证毕证明证明｜A｜｜B｜=｜E｜=１，因而A-1存在，于是B=EB=(A-1A)B=A-1(AB)=A-1E=A-1.证毕证毕证明证明若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|0，则称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.说明，矩阵A可逆与矩阵Ａ非奇异是等价的概念.定理２不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为伴随矩阵法.四、可逆矩阵的性质;1)(11AkkA（2）设A,B,Ai(i=1,2,···,m)为n阶可逆矩阵，k为非零常数，则A-1,kA,AB,A1A2···Am,AT也都是可逆矩阵，且（1）(A-1)-1=A;（3）(AB)-1=B-1A-1,(A1A2···Am)-1=Am-1···A2-1A1-1;（4）(AT)-1=(A-1)T;（5）;11|A|||A（6）(Am)-1=(A-1)m,m为正整数.我们只证（３）和（４）（３）(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.（４）AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.证毕证毕证明证明我们只证（３）和（４）（３）(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.（４）AT(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.证毕证毕证明证明例10求二阶矩阵的逆矩阵.五、举例dcbaA解解矩阵A的行列式|A|=ad–bc,伴随矩阵.*acbdA利用逆阵公式,||1*1AAA当|A|0时，有.1||1*1acbdbcadAAA例例1010求二阶矩阵的逆矩阵.dcbaA最后用|A|去除A的每一个元素,即可得A的逆矩bc.ad|A|,dcbaA““两调一除两调一除””法法求二阶矩阵的逆阵可用“两调一除两调一除”的方法.其方法是:先将矩阵A中的主对角线上的元素调换位置,再将次对角线上的元素调换其符号,阵.例11用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：325121321)2(2A213011322(1)1A5341172332124131)3(3A单击这里开始矩阵的求逆模型矩阵的求逆模型11123-10-21A=11123-10-21=-5A1123-1/51-3-4-213-421A-1=元素计算区元素计算区=33=1下一个A的逆矩阵为：清　空.C,B,A021102341010100001100001010例12解矩阵方程AXB=C，其中.C,B,A021102341010100001100001010单击这里可求逆单击这里可求逆,1000010101A例例1212解矩阵方程AXB=C，其中解解下面求A和B的逆矩阵.由已知易得X=A-1CB-1,例13设,,2001,4121PAPP求An.例例1313设,,2001,4121PAPP求An.解解因为|P|=2，所以P可逆，由求二阶矩阵逆矩阵的“两调一除”法，得.1124211P在等式AP=P两边右乘P-1，得A=PP-1，于是A2=PP-1PP-1=P2P-1，···，An=PnP-1，六、矩阵多项式设(x)=a0+a1x+···+amxm为x的m次多项式，A为n阶方阵，记(A)=a0E+a1A+···+amAm，(A)称为矩阵A的m次多项式.1.定义从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式.例如(E+A)(2E–A)=2E+A–A2,(E–A)3=E–3A+3A2–A3.因为矩阵Ak、Al和E都是可交换的，所以矩阵A的两个多项式(A)和f(A)总是可交换的，即总有(A)f(A)=f(A)(A)，2.性质3.计算方法（1）如果A=PP–1，则Ak=PkP–1，从而(A)=a0E+a1A+···+amAm=Pa0EP–1+Pa1P–1+···+PammP–1=P()P–1.（2）如果=diag(1,2,···,n)为对角矩阵,则，k=diag(1k,2k,···,nk)，从而()=a0E+a1+···+ammmnmmmnaaa212110111.)()()(21n例14设,,321,111201111PAPP求(A)=A3+2A2–3A.解解111201111||P计算计算6，所以P可逆，从而A=PP-1，(A)=P()P-1.而(1)=0，(2)=10，(3)=0，故()=diag(0,10,0).例例1414设,,321,111201111PAPP求(A)=A3+2A2–3A.例b1设方阵A满足,22OEAA证明EAA2及都可逆，并求.)2(11EAA及移项得EAA2及都可逆，并求.)2(11EAA及变形所给的等式，得,22OEAA,22EAA,2)(EEAA分解因式得解解例例b1b1设方阵A满足,22OEAA证明七、补充例题例b2设,A321011324求B.B,AAB2例例b2b2设,A321011324求B.已知方程变形得B,AAB2,2ABAB,)2(ABEA两边左乘,)2(1EA得分解因式得解解例b3设n阶矩阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.例b4设A为n(n≥2)阶方阵,证明|A|=|A|n-1.由于AA=AA=|A|E,所以|A||A|=|A|n.(4)下面分三种情形讨论:(1)|A|0,即A可逆,(4)式两端除以|A|即得|A|=|A|n-1.(2)|A|=0,且A=O,则A=O,结论显然成立.证明证明例例b4b4设A为n(n≥2)阶方阵,证明|A|=|A|n-1.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.