《整式的乘除》全章复习与巩固--知识讲解(提高)

第1页共7页《整式的乘除》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2.会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4.理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(mn，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方：(mn，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方：(n为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a≠0,mn，为正整数，并且mn).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：010.aa即任何不等于零的数的零次方等于1.要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法第2页共7页1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mcmbmacbam)((cbam,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即abmnamanbmbn.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：2xaxbxabxab.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()ambmcmmammbmmcmmabc要点三、乘法公式1.平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.22()()ababab要点诠释：在这里，ab，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2.完全平方公式：两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.2222abaabb；2222)(bababa要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项考虑完全平方；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.第3页共7页【典型例题】类型一、幂的运算1、已知25mx，求6155mx的值．【思路点拨】由于已知2mx的值，所以逆用幂的乘方把6mx变为23()mx，再代入计算．【答案与解析】解：∵25mx，∴62331115()55520555mmxx．【总结升华】本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力．举一反三：【变式】（1）已知246122,9,5abc，比较,,abc的大小.（2）比较3020103,9,27大小。【答案】解：（1）bac；（2）3010203279提示：（1）转化为同指数不同底数的情况进行比较，指数转化为12；（2）转化成比较同底数不同指数，底数转化为3.类型二、整式的乘除法运算2、（2015•杭州模拟）已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．【思路点拨】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．【答案与解析】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）=mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2=4，解得：m=2，原式=2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2∵多项式不含二次项，∴3+12n=0，解得：n=，所以一次项系数8﹣3n=8+34=354．【总结升华】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2=4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．举一反三：第4页共7页【变式】若13xmx的乘积中不含x的一次项，则m等于______．【答案】13；类型三、乘法公式3、计算：(1)abcdabcd；(2)231235xyxy．【思路点拨】（1）中可以将两因式变成ab与cd的和差.（2）中可将两因式变成23y与23x的和差.【答案与解析】解：(1)原式22[()()][()()]()()abcdabcdabcd222222aabbccdd．(2)原式[(23)(23)][(23)(23)]yxyx222323yx229412125yxyx.【总结升华】(1)在乘法计算中，经常同时应用平方差公式和完全平方公式．(2)当两个因式中的项非常接近时，有时通过拆项用平方差公式会达到意想不到的效果．举一反三：【变式】计算：2483(21)(21)(21)1．【答案】解：24822483(21)(21)(21)1(21)(21)(21)(21)1448(21)(21)(21)1881616(21)(21)12112．4、已知222246140xyzxyz，求代数式2012()xyz的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,xyz.【答案与解析】解：222246140xyzxyz2221230xyz第5页共7页所以1,2,3xyz所以20122012()00xyz.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.举一反三：【变式1】配方222214ababab，求ab＝________.【答案】解：原式＝22222221210ababaabbabab所以,1abab，解得1ab所以±2ab.【变式2】（2015春•祁阳县期末）课堂上老师指出：若a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，请判断该三角形的形状．小明在与同学一起合作探究这个问题时，说出了自己的猜想及理由，得到了老师的赞扬．请你写出小明的猜想和理由．【答案】解：依题意得：所以（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0所以a=b，b=c，c=a．故△ABC是等边三角形．5、求证：无论xy，为何有理数，多项式222616xyxy的值恒为正数．【答案与解析】解：原式＝221360xy所以多项式的值恒为正数.【总结升华】通过配方，将原式变成非负数＋正数的形式，这样可以判断多项式的正负.举一反三：【变式】证明:不论,ab为何值,多项式2222354ababab的值一定小于0.【答案】证明：2222354ababab＝2222[(1)(2)4]4abababab第6页共7页＝22(1)42abab∵0)12(2ab,02ba∴2(1)02ab,20ab∴原式一定小于0.类型四、因式分解6、若232pqqpqpE，则E是（）A．1qpB．qpC．1pqD．1qp【答案】C；【解析】解：23pqqp21qppq．故选C．【总结升华】观察等式的右边，提取的是2qp，故可把2pq变成2qp，即左边＝21qppq.注意偶次幂时，交换被减数和减数的位置，值不变；奇次幂时，交换被减数和减数的位置，应加上负号．举一反三：【变式】把多项式111mmm提取公因式1m后，余下的部分是（）A．1mB．2mC．2D．2m【答案】D；解：111mmm，＝111mm，＝12mm．7、分解因式：（1）2()4xy；（2）2216()25()abab；（3）22(2)(21)xx．【思路点拨】（1）把xy看做整体，变形为22()2xy后分解．（2）216()ab可写成2[4()]ab，225()ab可写成2[5()]ab，4()ab和5()ab分别相当于公式里的a和b．（3）把(2)x、(21)x看作一个整体进行分解．【答案与解析】第7页共7页解：（1）222()4()2(2)(2)xyxyxyxy．（2）222216()25()[4()][5()]abababab[4()5()][4()5()]abababab(9)(9)abab(9)(9)abab．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]xxxxxx(31)(3)xx．【总结升华】注意套用公式时要注意字母的广泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）22259abab；（2）22234xyx（3）33xyxy；（4）32436xxy；【答案】解：（1）原式5353abababab8228444abababab（2）原式＝232232xyxxyx＝343yxy（3）原式22xyxyxyxyxy（4）原式2249433xxyxxyxy