第五章傅里叶变换应用于通信系统(1)

则依卷积定理有tetrERthH)(j)(j)(jHER)(j)(j)(jERH所以),()(Ete若)(jE或),()(Rtr)(jR或),()(Hth)(jH或对于稳定系统jjssHH傅里叶变换形式的系统函数§5.1引言)(je)(j)(jHH)()()(tethtr频率响应特性de)()(j0thde)(e00jjhttH0j0e)(j：系统的幅频特性~)(jH~)(：相频特性,e)(0jtte设激励为则系统的零状态响应为)(te等于激励)(j0H乘以加权函数系统函数的物理意义系统可以看作是一个信号处理器激励：E(j)响应：H(j)·E(j))(jee)(j)(jEE)(jhe)(j)(jHH)(j)(j)(jHER)()()(her加权由的幅度)()(HE修正由的相位E对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。对信号各频率分量进行加权§5.2利用系统函数H(j)求响应•系统的频响特性与H(s)的关系•正弦信号激励下的稳态响应•非周期信号激励下系统的响应一．系统的频响特性与H(s)的关系在虚轴上有极点不同。当极点：在虚轴上及右半平面无当)(j)(jsHsHHthFsHstitvC)()(thtvt即时，求出当输入为ttuCttiCtvth)(1d)(1)()(j1)()(j1)()(thFHsthLsH例：二．正弦信号激励下系统的稳态响应理效果。代表了系统对信号的处。加权，相移频率的信号，幅度由与激励同作为激励的稳态响应为正弦信号jjsin000HHt)(sin)(000tH，，系统的频率响应为设激励信号为)(j0e)()(sinHHt则系统的稳态响应为三．非周期信号的响应•傅氏分析从频谱改变的观点说明激励与响应波形的差异，系统对信号的加权作用改变了信号的频谱，物理概念清楚。•用傅里叶分析法求解过程烦琐，不如拉氏变换容易。•引出H(jω)重要意义在于研究信号传输的基本特性，简述滤波器的基本概念，并理解频响特性的物理意义，这些理论内容在信号传输和滤波器设计等实际问题中具有十分重要的指导意义。小结系统可以看作是一个信号处理器：，是一个加权函数，jH加权。对信号各频率分量进行)(j加权，信号的幅度由H修正。信号的相位由对于不同的频率，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。正弦信号激励下系统的稳态响应)(j0)(j00200e)(e)(jπ)j()j(HV所以解：)()(jπ)j(001V)j()j()j(12VHV)()(πje)(j00)(jH利用频移特性)(π2e0j0t)(π2e0j0t)(jj)(jjeeeej)j()(00000221ttHtv所以)(sin)j(000tH)(e)(j)(j:,sin)(2)(j01tvHHttv求稳态响应，若设激励信号偶函数奇函数例5-2-1211)(jHarctan)()632sin(51t:3sint)723sin(101t解：)45sin(21t?3sin,2sin,sinj11j输出为多少时的当输入分别为若tttH:sint:2sint例5-2-2)(1tv)(2tvRC112200Cv。端电压利用傅里叶分析方法求，加入矩形脉冲电路，在输入端下图所示tvtvRC212211EOt)(1tv分析：jjjjjssHteFthHEHRjRFtr1解:RCsRCsCRsCsH1111jjH1的傅里叶变换式为激励信号tvj2j1e1je2SajEEV的傅式变换响应tv22j22j12eje2SajjjjVEVHVj1sRC令求v2(t)j2e1jjjEvje1j1j1Ejje1je1jEEtutuEtutuEtvttee2所以tuEtuEtte1e1波形及频谱图波形及频谱图)(1tv)(2tvRC1122EOt)(1tvOjHOj1VEOj2V122EOt)(2tv说明；功率带宽为系统具有低通特性，半形变圆滑。数规律上升和下降，波成分。经低通后，以指急剧下降，蕴含着高频急剧上升，输入信号在0tt降时间就要缩短。上升，下分量通过，响应波形的增加，允许更高的频率，即带宽称为时间常数，，RCRCRC1思考题：当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何?。和输入和输出标记为为描述方便，将原来的)()(2010tvtvttvvT101*TnVVnπ2jj111101jjj22HVVnnHV1110jjnnV1120jttvtvT202*波形及频谱图输入为周期矩形脉冲时的输出)(1tv)(2tvRC1122EOt)(1tvTTEOt)(2tvTTOjHOj1VTEOj2V122§5.3无失真传输•失真•无失真传输条件•利用失真——波形形成一．失真线性系统引起的信号失真由两方面的因素造成●幅度失真：各频率分量幅度产生不同程度的衰减；●相位失真：各频率分量产生的相移不与频率成正比，使响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。信号经系统传输，要受到系统函数的加权，输出波形发生了变化，与输入波形不同，则产生失真。jH●线性系统的失真——幅度，相位变化，不产生新的频率成分；●非线性系统产生非线性失真——产生新的频率成分。对系统的不同用途有不同的要求：●无失真传输；●利用失真波形变换。二．无失真传输条件幅度可以比例增加可以有时移波形形状不变h(t)tetrtrot0tteot)j()j()j(HER因为)()(0ttKetr因为0je)j()j(tKER所以0je)j()j()j(tKERH所以),j()(Hth已知系统te若激励为tr响应为时不失真那么)()(0ttKetr0)j(:tKH即频谱图几点认识：●要求幅度为与频率无关的常数K，系统的通频带为无限宽。●相位特性与成正比，是一条过原点的负斜率直线。●不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。OjHKO0t相位特性为什么与频率成正比关系？thttKKHt0j0e)j(只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间t0是相位特性的斜率：0ddt群时延或称群延时dd在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。例信号传输后失真此系统不满足0ddttsintOtOt2sintOtt2sinsin2sinttOtO32sinttO32sin2sintt输入输出三．利用失真——波形形成t1jEjHtrjjHR总结系统的无失真传输条件)()(:0ttKth时域0je)j(:tKH频域0)(,)j(tKH即均为实常数和0tK§5.4理想低通滤波器•理想低通的频率特性•理想低通的冲激响应•理想低通的阶跃响应•理想低通对矩形脉冲的响应ccj0e1j0tH一．理想低通的频率特性ccO)(jH1●的低频段内，传输信号无失真()。c~0在0t只有时移●为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。c0t即cc01jHOcc)(j)(Hth因为de)(j21)(j)(j1tHHFth所以cc0cc0j0)(jej1π21de1π21tttttt二．理想低通的冲激响应ccttdωee1π21jj00c0cjj0eej211π1tttttt0c0ccsinπtttt0ccSaπtt)(tht0tcππc0ccSaπttth波形t1t由对称性可以从矩形脉冲的傅氏变换式得到同样的结果。1．比较输入输出，可见严重失真；2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统讨论当经过理想低通时，以上的频率成分都衰减为0，所以失真。tc信号频带无限宽，1t而理想低通的通频带(系统频带)有限的c~0系统为全通网络，可以无失真传输。时，当c)()(tth原因：从h(t)看，t0时已有值。ccj0e1j)(0tHth0jej1πtR所以)(ccc0deej1)(ππ21)()(jj1cttRFtr三．理想低通的阶跃响应djeπ21deπ21cc0cc0jjttttdsinπ2221c00tt0ttx令xxxttdsinπ1210c0激励j1π)()(t=ute系统响应)()()(thtutrxxsinx1Oπ2ππ3π4ySiyO2π2π1.下限为0；2.奇偶性：奇函数。正弦积分yxxxy0dsin=)Si(3.最大值出现在最小值出现在πxπx0cSiπ121tttr阶跃响应波形tOtu1trtO210trtcπcπ2．阶跃响应的上升时间tr与网络的截止频率B（带宽）成反比。1rtBBt1π2crccπ2fBB是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。讨论1．上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，：rt记作ctπ0最大值位置：ctπ0最小值位置：0为系统延迟时间t1trtO210trtcπcπ)()()(1tutute因为四．理想低通对矩形脉冲的响应)(Si)(Si1)(0c0c1tttttr所以tte1Otr1t0t0t20tO121吉伯斯现象：跳变点有9%的上冲。改变其他的“窗函数”有可能消除上冲。（例如：升余弦类型）21．时，才有如图示，近似矩形脉冲的响crπ21t应。如果过窄或过小，则响应波形上升与下降时间连在一