全国高职高专高等数学1-1

荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章1欢迎大家学习高等数学课程数学的重要性已经不言而喻。大量的科学研究和实际问题的解决几乎都要以数学为手段和工具，尤其是数学技术和计算机技术相结合，使得数学向更广泛的领域渗透，高等数学是近代数学的基础，也是在现代科学技术、经济管理、人文科学中应用最广泛的一门课程。本课程的目标是让大家较系统地掌握必需的高等数学基础理论、基本知识和常用的计算方法，形成数学的应用意识，为后继课程学习和利用数学解决实际问题打下基础。机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章2高等数学课程简介高等数学课程内容包括一元函数微积分，空间解析几何与向量代数，多元函数微积分、无穷级数，常微分方程等五个部分。高等数学与初等数学的重要区别在于高等数学引入了极限这一工具，通过这一工具使之能够处理许多初等数学无法解决的复杂的量与量之间的变化关系。机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章3正确地理解和掌握极限这一高等数学中最重要的概念和思想方法是学习和领会高等数学中各种概念和方法的基础，把握住这一课程的方法论的核心就等于把握住了课程的脉搏。高等数学课程学习提示机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章4第一章函数、极限与连续本章中的概念函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章5一、常量与变量、区间与邻域二、函数的概念三、函数的几种特性四、反函数五、复合函数与初等函数第一节函数机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章6数学的主要研究内容是数量关系，空间形式。其中数量又可以分为两类：常量在某过程中数值保持不变的量，例如真空中的光速。变量在某过程中数值发生变化的量，例如一天中的气温。注意常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.也可以用其他字母表示变量与常量，这里采用的记号是数学上习惯的表示方法。机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章7变量在某一过程中有确定的变化范围。如果变化范围是连续的，则可以用区间来表示。区间:是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点..,,baRba且}{bxax称为开区间,b)(a,记作}{bxax称为闭区间,b][a,记作oxaboxab机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章8oxaoxb}{),[xaxa}{),(bxxb无限区间区间长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,b)[a,记作b](a,记作有限区间机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章9邻域:0.且δ,设a与δ是两个实数,点a叫做这邻域的中心.叫做这邻域的半径δ记作U(a，δ)xaaa,δ}称为点a的δ邻域ax数集{x),(aa=}|{),(axaxaU即机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章10去心邻域:(a，δ)记作U0xaa,域δ}称为点a的去心邻ax数集{x0),(),(aaaa},|{),(0axaxaxaU且即机动目录上页下页返回结束a。荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章11二、函数的概念(本质上是一种数量关系)定义：设x和y是两个变量。D是一个给定的数集。如果对于每个数x∈D，变量y按照一定法则总有（唯一）确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作y=f(x),数集D叫这个函数的定义域，x叫做自变量，y叫做因变量。其中定义域值域f对应法则)(xfyDx)(Dfy机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章12对函数概念进一步的说明：.)(,000处的函数值为函数在点称时1)当xxfDx2）约定：定义域是使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.3）两个函数相同：指两个函数具有相同的定义域和对应法则定义域、对应法则和值域称为函数的三要素，值域由定义域和对应法则确定。荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章13几种特殊的函数举例符号函数当x0当x=0当x0xyo11取整函数当xyo134212机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章140,10,12)(2xxxxxf例如,12xy12xy分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章15三、函数的几种特性设函数,,)(Dxxfy且有区间.DI(1)有界性,Dx,0M使,)(Mxf称)(xf,Ix,0M使,)(Mxf称)(xf为有界函数.在I上有界.M-Myxoy=f(x)X有界yMxX无界-Mo0x荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章16(2)单调性当,,21Ixx21xx时,,)()(21xfxf若称)(xf为I上的,)()(21xfxf若称为I上的单调增函数;单调减函数.xy1x2x)(xf荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章17xyoxx(3)奇偶性,Dx且有,Dx若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.说明:若)(xf在x=0有定义,则当.0)0(f)(xf为奇函数时,必有例如,2)(xxeexfy偶函数xyoxexexych双曲余弦xch记机动目录上页下页返回结束荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章18(4)周期性,0,lDx且,Dlx则称)(xf为周期函数,xo2y2若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数Cxf)(狄里克雷函数x为有理数x为无理数,1,0荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章19四、反函数的反函数。函数为自变量的新函数叫做那么由此确定的以与之对应，值都可以找到确定的若值域为其定义域为定义：设有函数)(,,,),(xfyyDxxMyMDxfy）（)()(1yfxyx或记作习惯上,Dxxfy,)(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章20其反函数(减)1)y＝f(x)单调递增(减).且也单调递增反函数的性质:2)函数与其反函数的图形关于直线对称.)(xfyxy),(abQxyo如右图,指数函数与对数函数互为反函数的函数图像),(,xeyx荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章21五、复合函数1)(DDg且则称和,),(1Duufy设有函数两个函数机动目录上页下页返回结束为由这两个函数确定的复合函数,u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件1)(DDg不可少.例如,函数链:,arcsinuy但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数.可定义复合函数荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章22两个以上函数也可构成复合函数.例如,0,uuy可定义复合函数:Zn),2,1,0(,cotkkvvu),(,2xxv荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章23基本初等函数与初等函数(1)基本初等函数指以下五类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数机动目录上页下页返回结束幂函数:yx(R是常数);指数函数:yax(a0且a1);对数函数:ylogax(a0且a1),特别当ae时,记为ylnx;三角函数:ysinx,ycosx,ytanx,ycotx,ysecx,ycscx;反三角函数:yarcsinx,yarccosx,yarctanx,yarccotx.荆门职业技术学院《高等数学》电子教案第一章24由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.都是初等函数.例如,函数21xyxy2sin2cotxy（2）初等函数又如,,2xyy0,xx0,xx可表为故为初等函数.内容小结1.与函数相关的概念:常量与变量，区间与邻域定义域对应法则3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素第二节目录上页下页返回结束