三角函数典型例题剖析与规律总结

三角函数典型例题剖析与规律总结一：函数的定义域问题1.求函数1sin2xy的定义域。分析：要求1sin2y的定义域，只需求满足01sin2x的x集合，即只需求出满足21sinx的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上k2Zk即可。解：由题意知需01sin2x，也即需21sinx①在一周期23,2上符合①的角为67,6,由此可得到函数的定义域为672,62kkZk小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如1,0logaaxfya的函数，则其定义域由xf确定。（5）当函数是有实际问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域例。求下列函数的值域（1）xy2sin23（2）2sin2cos2xyx分析：利用1cosx与1sinx进行求解。解：（1）12sin1x5,151yy（2）.0,4,1sin11sin1sin2sin2sin2222cosyxxxxxxy评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）xysin211（2）6662sin2xxy（3）4sin5cos22xxy（4）32,31cos4cos32xxxy分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数cbxaxxf2)(在闭区间nm,上求最值得方法。解：(1)221sin;261sin1sin11sin10sin211minmaxyxyxxxx时当时，当(2).11)32cos(5132cos,1)32cos(1minmaxyxyxx时，；当时，当(3)222592cos5sin42sin5sin22sin,sin1,1,48yxxxxxx当sin1x，即2(2xkkZ）时，y有最小值9；当sin1x，即2(2xkkZ），y有最大值1。(4)413,21cos415y32,21cos,21,21cos,32,3,31)32(cos31cos4cos3minmax22yxxxxxxxxxy时，即当时，、即从而小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；（1）sinx一次形式（2）sin()xfy或cos()xfy的形式，通过()1fy来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性例求下列函数的周期xxf2cos)(1)62sin(2)(2xxf分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。（1）把x2看成是一个新的变量u，那么ucos的最小正周期是2，就是说，当2uu增加到且必须增加到2u时，函数ucos的值重复出现，而),(2222xxu所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，xy2sin的周期是。（2）62sin2)262sin(2xx即)62sin(2)()62sin(26421sin2xxfxx的周期是4。小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数)sin(xAy或)cos(xAy（其中,,A为常数，),0,0RxA的周期2T。四．函数的奇偶性例判断下列函数的奇偶性xxxxfxxxfsin1cossin1)()2)(sin()()1(2分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称。是偶函数。)()(sin)sin()()(,sin)sin()(xfxfxxxxxfxxxxxf（2函数应满足.,2320sin1ZkkxRxxx，且函数的定义于为函数的定义域不关于原点对称。函数既不是奇函数又不是偶函数。评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证)(xf是否等于)(xf或)(xf，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性例：下列函数，在,2上是增函数的是（）xyAsin.xyBcosxyC2sinxyD2cos分析：判断。在各象限的单调性作出与可根据xxxxcossin.22,2解：sinyx与cosyx在2，上都是减函数，排除,AB，2x，22,x知sin2yx在2,2x内不具有单调性，又可排除C，应选D。小结：求形如)0,0)(cos()sin(AxAyxAy其中或的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：式的方向相同（反）。的单调区间对应的不等与时，所列不等式的方向）视为一个整体；（把“)(cos),(sin)0(02)0()1(RxxyRxxyAAx练习：1.函数xysin1的定义域为（）0.1,00,1.,..xxDCZkkxRxBRA2.函数)6cos(xy，2,0x的值域是()1,211,2323,2121,23.DCBA3.函数)0)(4sin(xy的周期为32，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）1sinsinsin2sin.xyDxyCxyBxyA5.下列函数中，奇函数的个数为（）（1）xxysin2（2）2,0,sinxxy（3）,,sinxxy（4）xxycos432.1.DCBA6.在区间2,0上，下列函数为增函数的是（）xyDxyCxyBxyAcossincos1sin1.7.函数xy2sin的单调减区间是（）ZkkkDkkCkkBkkA4,423,243,4223,228.如果4x，则函数xxysincos2的最小值是——————9.函数)2434(tanxxxy且的值域为（）,11,,11,1,1DCBA答案：BB3CCDB221B例1已知，且，则可以表示（）．（A）（B）（C）（D）分析由题意求，不仅要看选择支给出的四个角中哪一个角在区间内，还要看哪一个角的正弦值为依据诱导公式，有，，由此排除了B和D．又，故，因此本题应选C．点评反三角函数的记号既然表示一个特定区间上的角，就可以此为基础表示其他指定范围内的角．例2（1）若，则等于（）．（A）（B）（C）（D）（2）已知，那么的值是（）．（A）（B）（C）（D）分析（1）方法1因为（注意）.（注意由有）.于是原式，故选.方法2利用，，，又，，，故选（A）.（2）本题是的条件下，求两角和的值，只要求出这两个角和的正切值，并确定其取值范围即可．设，，由，有，，，故，并且，，.由此可知，故选.点评本题是利用反三角函数的概念，通过设辅助角，把反三角函数的运算转化为三角函数的问题来解决，这是常用的处理方法，同时，揭示了反三角函数和三角函数的内在联系．例3的值=．分析本题实质上是求角的大小，可以先求它的某种三角函数值，再估计其取值范围而确定．设，则，且又设，则，且，故．∴又由，可得∴，即．例4函数的定义域为，值域为．分析所求函数定义域应该由下列条件确定：解得为，故所求定义域为．又由，则，∴，即所求值域为点评求值域时既要认识给定函数是复合函数，又要注意定义域的制约作用．例5函数的单调递增区间是．分析由，得函数的定义域为由于函数由函数和复合而成，而函数在其定义域内是减函数，故只要求出函数的单调递减区间，为因此，已知函数的递增敬意是点评这里不仅要正确运用复合函数单调性的规律，而且要注意函数的单调区间定是其定义域的子区间．例6满足的的取值范围是；满足的的取值范围是．分析此类题既要用到函数的单调性，还要注意相应式有意义对的限制条件．例7若，则在上满足的的取值范围是（）．（A）（B）（C）（D）分析这是一道既要运用三角函数的性质，又要运用以反三角函数表示一定范围内的角的题目．如下图，满足已知条件的的取值范围是，其中满足：，故，同样，因此本题应选B．