微分方程组求解方法

目录上页下页返回结束本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统(,)(,)dxfxydtdygxydt(5.3.1)其中，在上连续且满足解的(,)fxy(,)gxy2R存在唯一性条件。为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态，目录上页下页返回结束必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系统的某一解，满足：()xxt()yyt00lim(),lim(),ttxtxyty则点一定是系统的奇点。00(,)xy目录上页下页返回结束一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较复杂的。又因为对于系统的任何奇点均000(,)Pxy可用变换00xxxyyy(5.3.2)把（5.3.1）变为：x目录上页下页返回结束0000(,)(,)(,)(,)dxfxxyyPxydtdygxxyyQxydt(5.3.3)且(5.3.3)的奇点即对应于(5.3.1)的(0,0)O移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。奇点。又因为变换(5.3.2)只是一个平000(,)Pxy因此，我们可假设是(5.3.1)的奇点，且(0,0)O目录上页下页返回结束性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足：(0,0)(0,0)0fg(5.3.4)如果均是的线形函(,),(,)fxygxy,xy数。我们称之为线性系统，即只须讨论(5.3.1)的奇点及其邻域的轨线(0,0)Odxaxbydtdycxdydt(5.3.5)目录上页下页返回结束5.3.1几个线性系统的计算机相图一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地画出其图形，给我们一个直观的形象。Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定目录上页下页返回结束初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。例5.3.1用Maple描出系统2dxxdtdyydt(5.3.6)在奇点附近轨线的相图。解用Maple解得相图5.7。目录上页下页返回结束5.3.2平面线性系统的初等奇点考虑到一般的平面线性系统dxaxbydtdycxdydt（5.3.5）其中系数矩阵为常数矩阵。abAcd目录上页下页返回结束如果，则是系统det0Aadbc(0,0)O这时的奇点称为系统的高阶奇点。下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。根据线性代数的理论，必定存在非奇异实矩阵，使得成为的若当T1TATA的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.而0detA则称非为孤立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，)0,0(O目录上页下页返回结束（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由的特征根的不同情况而具有以下几种形式：A0001因而对系统（5.3.5）作变换XTY1YTX即，其中目录上页下页返回结束xXyY11122122ttTtt是上边所说的实可逆矩阵，则系统(5.3.5)变为:1dYTATYdt(5.3.10)从而变换的几种形式就能容易的得出1TAT平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于(,)目录上页下页返回结束原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须用变换返回到就行了。XTY由于变换不改变奇点的位置与类XTY型，因此我们只对线性系统的标准方程组给出讨论。目录上页下页返回结束2()0abadadbccd记2(),,4padqadbcpq设的特征方程为：A则特征方程为，特征根为20pq2p(5.3.11)目录上页下页返回结束由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:1.特征根为不相等的同号实根(0,0)q此时对应的标准型为dxxdtdyydt(5.3.12)容易求出其通解为目录上页下页返回结束12(),().ttxtceytce（5.3.13）其中是任意常数，对应于零解，12,cc120cc对应的轴正负半轴都是轨线；120,0ccY120,0cc对应的轴正负半轴是轨线；X12,0cc当时候，再分两种情况讨论：（1），,同号且均为负数(0)p目录上页下页返回结束这时消去得tycx（5.3.14）所以轨线均为以顶点的抛物线，且(0,0)当时由t()21tcdyedxc目录上页下页返回结束我们可知：当时()21lim0ttcec即切线切轴趋于点。(0,0)X当时()21limttcec目录上页下页返回结束即切线切轴趋于点。(0,0)Y且由于(5.3.14)知此时原点是渐近稳定的，(0,0)所以系统在原点及附近的相图如下图所示：图5.11(a)图5.11(b)我们把这样的奇点称为稳定结点。（2），,同号均为正数(0)p目录上页下页返回结束这时关于(1)的讨论在此适用只需将t改为所以此时的奇点称为不稳定结点，t轨线分布如图5.11类似，仅是图上的箭头反向。2.为异号实根,(0,0)q这时仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以两个坐标轴的正负半轴仍为轨线，但是由于，奇点附近0目录上页下页返回结束的轨线成为双曲线的且若，则当时，0t()0,()xtyt若，则当时，0t(),()0xtyt轨线均以轴轴为渐近线，系统在原点及XY附近的轨线分布如:图5.12(a)图5.12(b)目录上页下页返回结束这种奇点成为鞍点，它是不稳定奇点。3.为重根(0,0)q这时由Jordan块的不同分为两种：(1)标准型为dxxdtdyydt(5.3.15)目录上页下页返回结束且当时，0lim()lim()0ttxtyt即是渐近稳定的；(0,0)反之，当时为不稳定的。此时的0(0,0)奇点称为临界结点（星形结点），目录上页下页返回结束(2)若Jordan块为二阶时，标准型为dxxdtdyxydt(5.3.16)其通解为112()()()ttxtceytctce(5.3.17)目录上页下页返回结束仍对应的是零件即奇点120cc(0,0)120,0cc对应的是轴为轨线，但是轴YX不再是轨线，时消去得出：10ctlnxycxx(5.3.18)由上式知：又因为目录上页下页返回结束111lndyyxxdxx所以有0limxdydx因此所有轨线均切轴于点，这种奇点(0,0)Y称为退化结点。且当时为稳定的退化结点，0当时为不稳定的退化结点。0目录上页下页返回结束4.,,0(0,0)iiq这时系统的标准型为.dxxydtdyxydt(5.3.19)取极坐标变换,(5.3.19)即cos,sinxry化为:目录上页下页返回结束.drrdtddt(5.3.20)下边分两种情况:（1）0,(0)p此时解(5.3.20)得出00(),()ntrtrett目录上页下页返回结束其中是任意常数，消去得00,rtrce这是一族对数螺线，这样的奇点称为焦点，且当时是稳定焦点，时是不稳定焦点，00的正负决定了增加时轨线是顺时针还是逆t时针绕原点旋转的。目录上页下页返回结束(2)0,(0)p这时特征值是一对纯虚数,于是系统在极坐标下的通解为：0000,,,rrtr为任意的常数且。显然这是一族以原点00r为中心的同心圆，这样的奇点称为中心，目录上页下页返回结束中心是稳定奇点但不是渐近稳定的。归纳上边的讨论得出，系统(5.3.5)的奇点是初等奇点时候根据它的系数矩阵的(0,0)A特征方程(5.3.11)有如下分类：1）当时，为鞍点；0q(0,0)2）当且时是结点且是稳0q00p目录上页下页返回结束定的，不稳定的；0p3)当且时是临界结点或退0q0(0,0)化结点,且是稳定的，是不稳定的；0p0p4)当时是焦点且0,0,0qp(0,0)0p为稳定的，为不稳定的;0p5)当且时，是中心。0q0p(0,0)目录上页下页返回结束由此知道参数平面，被轴，正轴(,)pqPQ别对应于系统的鞍点区，焦点区，结点区，及曲线分成了几个区域，分240pq中心区，退化和临界结点区等等，点。但是平面的轴对应的是系统的高阶奇(,)pqP目录上页下页返回结束例5.3.6画出下面的线性系统的奇点附近相图33dxxydtdyxydt解容易算出20,80pq所以是系统的鞍点。(0,0)目录上页下页返回结束我们求解如下：313dyKKdxK(当时)0,0xyyKx得到.同样的可以分析画出奇点附121,1KK近的轨线分布如图5.18所表示。目录上页下页返回结束目录上页下页返回结束xyOxyO目录上页下页返回结束Oxy目录上页下页返回结束yx0,0目录上页下页返回结束0,0yx目录上页下页返回结束