微分方程要点概要

微分方程主要结论一览一、一阶微分方程),(,0),,(yxfyyyxF显式隐式dxxfygdyygxfdxdy可分离变量、1也可能是原方程之解。注意：若00yyygxyfdxdy齐次方程、2uxuyxuyxyu,,令xdxuufduufuxu代入原方程，得类似还有yxgdydxyxv/可令次齐次函数慨念补：kyxfttytxfk,,f满足若可微函数易得次齐次函数．为二元则称kfyxkffyfxyx,程可化为可分离变量的方、3cbyaxucbyaxfdxdy令、12221112cybxacybxafdxdy、2222121,cybxaubbaa令若00,2221112121cybxacybxabbaa先解若00,yx得唯一解XYgdXdYyYyxXx,00原方程化为再令）全微分方程（恰当方程、4xNyMdyyxNdxyxM,0,,其中dyyxNdxyxMyxdFyxF,,,,满足必存在cyxF,可得解：积分，得或选折线,,,000yxyxyxcdyyxNdxyxMyyxx00,,0,0)()(,为全微分方程使若存在dyNdxMyx为积分因子。则称),(yxxxyyNNMMNxMy,得由)(xyyxNMMN或xyyxyxyx1,1,1,1,1222222：常用积分因子有凑、重新组合等。常用方法有：拆项、拼一阶线性微分方程、5)()(),()(yQxyPdydxxQyxPdxdy或标准形式])([)()(CdxexQeydxxPdxxP公式：或常数变易法)1,0()()(:)(1yxQyxPdxdyBernoulli方程贝努利)()1()()1(1xQzxPdxdzyz令：化为上面的标准形式６、特殊代换方程二、可降阶的高阶微分.:1次积分、nxfynpxfdxdppyyxfy,,,2：则原方程化为一阶方程令、yyxfyyyyxF,,,0,,,其中可求解形式为一般dydppypyyyfy,,3则令、.,再求解则原方程化为pyfdydpp）解的结构（以二阶为例三、高阶线性微分方程20)()(1)()()(yxqyxpyxfyxqyxpy齐次：：非齐次的解．２　也是　　　　　　则的解，２是　解的结构：　１、若　)()()(),(221121xyCxyCxyxy无关）常数（此时称两者线性２、若)(/)(21xyxy)()(2211xyCxyCY的通解为　２则的通解．　１　是则　的通解，２　是的特解，１　是３、若　yYyxYxy)()(分别是　４、若　)(),()()(1xyxfxfxfik　的特解．　１　是则　的特解)()()(),,,2,1()()()(21xyxyxykixfyxqyxpykk　之解．２　的两解之差亦是　１５、任何有类似结论．６、二阶以上的方程也程求解四、二阶变系数线性方0)()(yxqyxpy１、齐次方程　代入原方程，得　是一特解，令　若观测得　)()()()(121xuxyxyxy)()(,1)(2211)(2112xyCxyCYdxeyyxydxxp得齐次方程通解：)()()(xfyxqyxpy２、非齐次方程　)()(2211xyCxyCY　　　　求得齐次方程的通解若已知或通过上述方法)()()()(2211xyxCxyxCy变易常数求特解，令)(022112211xfCyCyCyCy　代入非齐次方程，得　21211221)()(,)()(yyyyWdxWxfyxCdxWxfyxC其中　　22112211)()(yxCyxCyCyCy非齐次通解为　五、常系数线性微分0qyypy方程　　１、二阶齐次线性微分02qprr特征方程为　　rxexCCYrrr)(,2121通解为　１）、特征根　xrxreCeCYrr212121,通解为２）、特征根　)sincos(,21xCxCeYirx　　　　　　通解为　３）、特征根　01)1(1)(ypypypynnnn　　　　程２、ｎ阶常系数齐次方0111nnnnprprpr特征方程　　，通解有以下结论：根据特征方程根的情况;,xriiieCr给出一项　１）、单实根;)sincos(,21xCxCeix　　　给出两项　２）、有一对单复根　)(,121kkrxxCxCCer　　　　　给出ｋ项３）、有ｋ重实根，给出２ｋ项４）、有一对ｋ重复根i]sin)(cos)[(121121xxBxBBxxCxCCekkkkx)(xfqyypy３、非齐次方程　求其特解．的构造，用待定系数法再根据非齐次项先求齐次方程的通解，)(xfxmkmxexQxyxPexf)()()(１）、是二重特征根．若，２是特征单根；若，１不是特征根；若其中,0k同次的多项式．是与)()(xPxQmm]sin)(cos)([)(xxPxxPexfnlx２）、]sin)(cos)([)2()1(xxRxxRexymmxk是特征根．若，１不是特征根；若其中iik,0nlmxRxRmm,max)(,)()2()1(为两ｍ次多项式，　四））．　　　求其特解（见（数变易法为其他情形，可试用常４）、若)(xf六、欧拉方程　)(1)1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn，记令kkktdtdDxtex,ln,ykDDDyxkk)1()1()(则数微分方程求解．可将欧拉方程化为常系程组七、常系数线性微分方、一阶方程组1)()(10101010tgyddtdydxcdtdxctfybdtdybxadtdxa.求得另一未知函数数代入原方程组，即可最后将求得的函再解此一元微分方程，的二阶微分方程，得到只含一个未知函数知函数及其导数，从方程组中消去一个未（只含两个变量）、高阶线性微分方程组2)()(01100110tgydydxcxcxctfybybxaxaxammnnnmmnnn则方程组简化为引进算子,kkkdtdD)()(tgyDSxDRtfyDQxDP.更高阶微分方程求解数的则得到只含一个未知函再用消元法或克莱蒙法.组类似求解含两个以上变量的方程.,,,110类似如DSDRDQaDaDaDPnnn之方法八、常用建立微分方程分方程１、利用几何量建立微体积、弧长等．如：切线斜率、面积、微分方程２、利用物理定律建立克定律、冷却定律等．如：牛顿第二定律、虎分方程３、利用微元法建立微分方程级数抽象关系式建立微４、利用微分、积分、特殊关系建立微分方程５、利用题目所表述的