12 第六章用有限元法解平面问题童中华

安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387101弹性力学主讲：童中华安徽工业大学《弹性力学简明教程》第四版徐芝纶安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387102作业概况缺作业：土111孙震(缺第4次),土111沈恩鑫(1,2),土111张松鹤(1,2,3,4?);土112陈建军(4),土112张文博(4),土112周子明(1,2,4);113杨俊平(4),土114李杰(1,2,4),土114刘洋(4),土114王宁(4),土114翁世强(4),土114韦林辉(4);土115杨帅(1,4)土115张建(1),土115张洋(4);缺第5次作业或无效：土111张松鹤,土112陈建军,土112葛帅帅,土112黄燕,土112张文博,土114李杰,土114刘洋,土114任乾顺,土114王宁,土114翁世强土115陈彪,土115程昀,土115黄健,土115黄亮,土115夏伟胜,土115杨帅,土115张建,土115张洋得A：土112夏娟,土112夏文静,土113高伟利,土113刘剑珲,土113申文静,土113高智,土114孙丹丹,土114左嫚嫚,土115罗微微,土115吴琦安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387103【习题4-1】试考察应力函数能解决图示弹性体的何种受力问题。（必做题，带学号）2sin1MMqMaMMaaxyo习题图4-1习题4-1作业点评MN图中其中M为学号末位数+3，N=Mod(M,2)+1，即N为M对2取余再加1，如学号末位数为9，则得M=12,N=1。安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387104解：（1）将应力函数代入相容方程，得22222222222222222211sin111sin10MMMMMMqqqMMaMaMMaqMMMMMaMM满足aaxyo习题图4-1习题4-1作业点评2sin1MMqMaMM安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387105（2）求解应力分量，得2222222222221sinsi111coss1ncoMMMMMMMMqMaqqMaqMMaaM=aaxyo习题4-1作业点评2sin1MMqMaMM习题图4-1安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387106（3）求边界上的面力，得aaxyo221:sin0,cos1:,0,,MMNMNMNMMMfMNfqaaφρφρ=aρρρ=af=τ=-qcof=σ=-qsinMsM,φφ====边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评-qcosMφ-qsinMφ2Maqq2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-MN习题图4-1qq-q安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387107（3）求边界上的面力，得aaxyo222:sin1,cos0:2,,0,MMNMNMNqaMMMfMNfaφρφρ=aρρρ=af=τ=-f=σ=-qsinMqcs,oφMφ====边界上的面力分布如右图所示。习题4-1作业点评q2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-MN习题图4-12Maq-qsinMφ-qcosMφ安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387108§5+上一讲回顾弹性体总的形变势能为【位移变分方程】在实际平衡状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。)225(d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx【位移变分法】)265(),2,1(ddddddmsvfyxvfBUsufyxufAUsmyAmymsmxAmxm)165(dd)(21212222AyxyuxvμyvxuμyvxuμEU安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：2134387109第六章用有限单元法解平面问题§6+有限元法及软件介绍§6-1基本量及基本方程的矩阵表示§6-2有限单元法的概念§6-3单元的位移模式与解答的收敛性安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871010§6+有限元法及软件介绍弹性力学问题的解法解析方法：无穷小单元满足平衡微分方程、相容方程，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在连续体上的偏微分方程问题。有限元法：有限大单元满足平衡方程、临近单元位移连续，边界上满足应力和位移边界条件。问题转化成定义在有限多个单元上的代数方程问题。有限元法是将连续体离散化，用有限大单元取代微分体，将问题转化为适合数值解法的结构型问题的求解方法。在固体力学、流体力学、传热学等领域皆有广泛的应用。安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871011(a)桁架(b)深梁（连续体）§6+有限元法及软件介绍结力研究对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图a）。有限元法研究对象是连续体（待离散化）（图b）。结构力学结构和有限元法结构的比较安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871012将连续体变换为离散化结构（图c）：将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用铰连结起来，构成所谓‘离散化结构’。(c)深梁（离散化结构）图（c）与图（a）相比：两者都是离散化结构；区别是：(a)的单元是杆件，(c)的单元是三角形块体（内部仍是连续体）。§6+有限元法及软件介绍安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871013§6+有限元法及软件介绍有限元法基本思路（按位移求解）1.将连续体划分成离散化的单元结构体；2.设结点位移为基本未知量，按弹性力学方法对单元进行力学分析，将所有物理量和方程用结点位移表示；3.列结点的平衡方程，将单元装配成整体，得到整体结构所要满足的平衡方程，未知量为结点位移；4.求解所有结点的位移，计算待求物理量，如关键点的应力，区域平均应力水平，结构变形图等。安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871014（1）具有通用性和灵活性。（2）对同一类问题，可以编制出通用程序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程要求的精度。§6+有限元法及软件介绍有限元法(FiniteElementMethod)的特点FEM的两种主要导出方法:结力法和变分法。本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位移求解的方法。采用矩阵表示，可使公式统一、简洁，且便于编制程序。安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871015§6+有限元法及软件介绍常见有限元法软件【ANSYS】通用商用软件，适用范围广，前后处理模块完备，人机交互友好，容易上手，参考书多如牛毛。提供参数化设计语言（ANSYSParameterDesignLanguage)，可以通过脚本语言编程实现ANSYS常规操作，包括输入、输出及设计优化等功能。向所有领域工作者推荐。1.结构静力分析2.结构动力学分析3.结构非线性分析4.动力学分析5.热分析6.电磁场分析7.流体动力学分析8.声场分析9.压电分析缺陷：土木材料的本构关系少。软件主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块，后处理模块。安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871016§6+有限元法及软件介绍【MSC.Marc】既可以像ANSYS那样实体建模，也可以采用扩展法建模；具有极强的结构分析能力和非线性计算能力。（1）几乎每种单元都具有处理大变形几何非线性,材料非线性和边界条件非线性以及组合的高度非线性的超强能力。（2）MARC的结构分析材料库提供了模拟金属、非金属、聚合物、岩土、复合材料等多种线性和非线复杂材料行为的材料模型。（3）收敛速度快，大概比ANSYS快5～6倍；计算土和水的功能很强，提供了土的摩尔－库仑模型（线性和非线性）、修正邓肯－张模型和修正剑桥模型；计算混凝土的功能不够强；摩擦分析能力不强；参考书较少。向土木专业推荐安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871017§6+有限元法及软件介绍【ADINA】建模方便；非线性计算能力强，收敛速度和marc差不多；没有前后处理，但有源代码，适合二次开发。计算土和水的功能不如Marc；计算混凝土的功能比Marc强；摩擦分析效果比Marc好。参考书较少。向搞FEM软件开发工作者推荐【ABAQUS】被广泛地认为是功能最强的有限元软件，可以分析复杂的固体力学结构力学系统，特别是能够驾驭非常庞大复杂的问题和模拟高度非线性问题。ABAQUS不但可以做单一零件的力学和多物理场的分析，同时还可以做系统级的分析和研究。参考书较少。向资深FEM工作者推荐安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871018§6-1基本量及基本方程的矩阵表示体力面力应力应变位移()Txyfff()Tuvd()Txyxyεεγε()Txyxyσστσ()Txyfffxyxyuxvyuvyxε几何方程00(66)xuvyyx安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871019§6-1基本量及基本方程的矩阵表示物理方程其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是(68)σDε21010(69)11002μEμμμD安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871020§6-1基本量及基本方程的矩阵表示()()(615)TTAdxdy**Fδσε图6-1yxoij*,iiyvF*,iixuFjjyvF,**,jjxuF),,,,(),,,,(*****jjiijyjxiyixvuvuFFFFF虚功方程：外力在虚位移上的虚功等于应力在虚应变上的虚功有限元中将各种外力以作用于结点上的等效集中力代替，用结点的平衡方程代替平衡微分方程。结点上的集中力和相应的虚位移可表示为板的厚度取单位长度1安徽工业大学建筑工程学院《弹性力学》主讲：童中华交流群：21343871021§6-2有限单元法的概念三角形单元：三角板或三棱柱imjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju大多在顶点设置结点，一个单元有3个结点。有时在三边的中点设置结点，成为六结点三角形单元。结点一般都作铰结。单