2.3 传递函数 2.4 典型环节的传递函数

上海大学机电工程与自动化学院工程控制原理2.数学模型与传递函数2.3传递函数主讲：周晓君办公室：机械副楼209-2室电子邮件：[e-mail]办公电话：56331523上海大学机电工程与自动化学院2.3传递函数微分方程的求解十分繁琐，而且从其本身很难分析研究系统的动态性能，尤其是对复杂的系统及高阶微分方程。2.数学模型与传递函数如果对微分方程进行拉氏变换，得到代数方程(复数域)，将使解算简化而方便。传递函数是在拉普拉斯变换基础上产生的，可以用来方便直观地描述零初始条件下的单输入单输出系统，是对元件及系统进行分析、研究与综合的有力工具。根据传递函数在复平面上的形状可以直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。传递函数是经典控制理论的基础，是极其重要的基本概念。上海大学机电工程与自动化学院2.3.1传递函数的定义线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。2.3传递函数即)()()()()(ioiosXsXtxLtxLsG)()()(iosGsXsX可见传递函数是描述系统的一种数学方式。G(s)Xo(s)Xi(s)输入信号经系统(或环节)传递[乘以G(s)]，得到输出信号。称G(s)为传递函数上海大学机电工程与自动化学院2.3.2传递函数的求法设线性定常系统（或环节）由下述n阶线性常微分方程描述2.3传递函数式中，n≥m。)(d)(dd)(dd)(do0o11o1n1nontxattxattxattxannn)(d)(dd)(dd)(di0i11i11mimtxbttxbttxbttxbmmmm上海大学机电工程与自动化学院当初始条件全为零，即：xi(t)和xo(t)及其各阶导数在t=0的值均为零时，对上式进行拉氏变换2.3.2传递函数的求法)(o0111nnsXasasasann)(i0111mmsXbsbsbsbmm由此可知，只要知道系统微分方程，就可求出其传递函数。得到系统（或环节）传递函数的一般形式01110111io)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmm上海大学机电工程与自动化学院2.3.3传递函数的特点2.3传递函数(1)传递函数的分母是系统的特征多项式，代表系统的固有特性，分子代表输入与输出的关系。因此，传递函数表达了系统本身的动态性能，与输入量的大小及性质无关。(2)传递函数不说明被描述系统的物理结构。只要动态性能相似，不同的系统可以用同一类型的传递函数描述。(3)传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，这要看系统输入、输出量的量纲，以及两者的比值。(4)传递函数是复变量s的有理真分式，m≤n，且所具有复变函数的所有性质。上海大学机电工程与自动化学院2.3传递函数传递函数分母中的最高阶次，等于输出量最高阶导数的阶次。如果s的最高阶次等于n，则称这种系统为n阶系统。)()(d)(dd)(d00202tftkxttxDttxmi例题已知系统微分方程，求其传递函数。解：在零初始条件下，对上式两边取拉普拉斯变换，得)()()()(iooo2sFskXsDsXsXms整理得到描述系统的传递函数kDsmssFsXsG2io1)()()(上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件可以有完全相同的数学模型。2.数学模型与传递函数在控制工程中，一般将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节称为典型环节。复杂控制系统常常由一些简单的典型环节组成，求出这些典型环节的传递函数，就可以获得整个系统的传递函数。上海大学机电工程与自动化学院控制系统中常用的典型环节有：比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延时环节等。2.4典型环节的传递函数2.4.1比例环节比例环节的传递函数为KsXsXsG)()()(io如果一个环节的输出与输入成正比例，既不失真也不延时，则称此环节为比例环节，也称放大环节。其数学模型为)()(iotxKtx比例环节的增益，或称放大环节的放大系数KXo(s)Xi(s)比例环节的方框图上海大学机电工程与自动化学院2.4.1比例环节KzztNtNsG21io)()()(例题求图示一齿轮传动副的传递函数。ni、no分别为输入轴及输出轴转速，z1和z2为齿轮齿数(假定系统为：齿轮副无传动间隙，且传动系统刚性无穷大的理想状态)。解：因为)()(o2i1tnztnz经拉氏变换后)()(o2i1sNzsNz齿轮副的传动比比例环节：略去弹性的杠杆、作为测量元件的测速发电机(输入为转速、输出为电压)、电子放大器，等等z1z2no(t)ni(t)齿轮传动副上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.2惯性环节形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：1)()()(ioTsKsXsXsG凡运动方程为一阶微分方程：)()(d)(diootxKtxttxT惯性环节的增益，或称放大系数惯性环节的方框图KTs+1Xo(s)Xi(s)惯性环节的时间常数惯性环节元件中，总含有储能元件。对于突变形式的输入而言，输出总落后于输入。表征环节的惯性，与环节结构参数有关上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题1求图示质量-弹簧-阻尼器环节传递函数。解：若质量m相对很小，可略去其影响(忽略惯性力)。此时的系统动力学方程为)()(d)(diootkxtkxttxc经拉氏变换后)()()(iooskXskXscsX质量-弹簧-阻尼器系统模型mxo(t)kcxi(t)系统传递函数为11)()()(ioTskcsksXsXsG惯性环节的时间常数kcT上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题2求图示简单阻容电路的传递函数。经拉氏变换后)()()(ioosUsUsRCsU系统传递函数为1111)()()(ioTsRCssUsUsG电路的时间常数RCT阻容电路RCi(t)ui(t)uo(t)解：电路方程为ttiCtiRtuid)(1)()(ttiCtuod)(1)(储能元件耗能元件)()(d)(diootututtuRC上海大学机电工程与自动化学院2.4.2惯性环节例题3图示为简化了的直流发电机电路。转子恒速转动，输入为激磁电压ui，输出为电压uo，求此系统的传递函数。解：激磁电路电压方程为ttiLtRitud)(d)()(i经拉氏变换后，系统传递函数为1)()()(1ioTsKRLsKsUsUsG惯性环节的时间常数RLTLRi(t)ui(t)uo(t)M输出电路中转子恒速，故)()(1otiKtuttuKLtuKRtud)(d)()(o1o1i常数惯性环节的增益RKK1上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.3微分环节因此，理想微分环节的传递函数为TssXsXsG)()()(io理想微分环节的输出量正比于输入量的微分，即ttxTtxd)(d)(io微分环节的方框图TsXo(s)Xi(s)当输入量为阶跃函数时，理论上输出量将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲，实际上不可能。因此，在物理系统中微分环节不独立存在，而是和其它环节一起出现。微分环节的时间常数上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题1仍考虑直流发电机电路。当激磁电压ui恒定时，取输入为转子转角，输出为电枢电压uo，求此时的传递函数。解：由于ui恒定，磁通量为定值，所以电枢电压与转速成正比，即ttKtud)(d)(o系统传递函数为KssΘsUsG)()()(oLRi(t)ui(t)uo(t)M常数经拉氏变换后得)()(osKsΘsU上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题2图示液压阻尼器原理。求系统传递函数。解：液压缸力平衡方程为)(o12tkxppA过阻尼的流量方程)()(oi12txtxARppq液压阻尼器系统模型p1p2qAxo(t)kRxi(t)液阻活塞有效面积流量压强弹簧刚度输入输出以上两式中消去p1、p2，得)()()(o2oitxRAktxtx)()()(io2otxtxRAktx上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节经过拉氏变换后得到得到传递函数1)()()(2ioTsTsRAksssXsXsG由上面传递函数形式看出，液压阻尼器是包含有惯性环节和微分环节的系统，称之为具有惯性的微分环节。若|Ts|1时，G(s)≈Ts，系统近似成为理想微分环节。)()()(io2ossXsXRAkssXkRAT2上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节例题3图示电路系统为具有惯性的微分环节。求此系统的传递函数。CR1iRuiuoiCiR2解：电路方程为oCid1utiCutiCRid1C1RCC1CRd1itiCRiiiC2C122odiRtiCRRRiu)()()(C2C12osIRsICsRRsU)()(1)(oCisUsICssU上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节消去IC(s)后，得得到传递函数1)1()1()1()()()(11212ioKTsTsKRCsRRCsRRsUsUsG)()(1)(o2o11isURsUCsRRsUCRT1212RRRK时间常数上海大学机电工程与自动化学院2.4.3微分环节当R1→∞时，得到传递函数11)()()(22ioTsTsCsRCsRsUsUsGoid1utiCuCRT2时间常数2oiRu经拉氏变换后，得)(11)(o2isUsCRsU具有惯性的微分环节上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.4积分环节因此，积分环节的传递函数为TssXsXsG1)()()(io积分环节：输出量正比于输入量对时间的积分，即ttxTtxd)(1)(io当输入量xi为定值时，输出量将正比于时间。积分环节的时间常数积分环节的方框图1TsXo(s)Xi(s)txoxixo(t)xi(t)o上海大学机电工程与自动化学院2.4.4积分环节例题1图示齿轮齿条传动机构，取齿轮转速n为输入量，齿条的位移量x为输出量，求此机构的传递函数。解：由齿轮齿条的转速关系Dntxdd系统传递函数为sDsNsXsG)()()(齿轮节圆直径经拉氏变换后得)()(sDNsXxn上海大学机电工程与自动化学院2.4.4积分环节例题2图示电路系统，求此环节的传递函数。解：取输入量为回路电流i，输出量为电容器两端电压u，则tiCud1系统传递函数为sKsCsIsUsG1)()()(经拉氏变换后得)(1)(sICssU电气积分环节CuiCK1上海大学机电工程与自动化学院2.4.4积分环节例题3图示液压缸，其输入为流量q，输出为活塞位移x，求此环节的传递函数。解：活塞有效面积为A，则Aqtxdd系统传递函数为sKsAsQsXsG1)()()(经拉氏变换后得)(1)(sQAssXAK1液压积分环节Axq即tAqxd上海大学机电工程与自动化学院2.4典型环节的传递函数2.4.5振荡环节2nn22n2)(sssG振荡环节是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。传递函数为若1、输入为单位阶跃函数时，输出将是衰减振荡过程。n：无阻尼固有频率振荡环节的方框图Xo(s)Xi(s)n2S2+2ns+n2阻尼比上海大学机电工程与自动化学院2.4.5振荡环节例题1图示质量-阻尼-弹簧系统，求其传递函数。解：考虑