2.3数学归纳法(第一课时)

选修2-2第二章推理与证明从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，…从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。故事情境问题情境一问题1:你知道谚语—“天下乌鸦一般黑”的由来吗？师生互动探求新知问题2:盒子中有5个小球，如何证明它们都是红色的？问题3:数列的通项公式是：an=(n2－5n+5)2请算出a1=，a2=，a3=，a4=,猜测1111猜测是否正确呢？22(55)1nnNann对一切，都有问题情境二由于a5＝25≠1，所以猜测是不正确的问题4:在数列{na}中,1a＝1,11nnnaaa(n∈),*N（1）求2a，3a，4a的值；（2）试猜想该数列的通项公式．234111,,234aaa1nan像这种由一系列特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法（2）不完全归纳法，考察部分对象，得到一般结论的推理方法归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法问题1:大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？完全归纳法不完全归纳法问题2:在数列{na}中,试猜想该数列的通项公式。1a＝1,11nnnaaa(n∈),*N数学家费马运用归纳法得出费马猜想的事例：思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：可以帮助我们从一些具体事例中发现一般规律缺点：仅根据有限的特殊事例归纳得到的结论有时是不正确的在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？多米诺骨牌游戏问题情境三这个游戏中，能使所有多米若骨牌全部倒下的条件是什么？需满足以下两个条件：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相临两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.思考：你认为条件（2）的作用是什么？思考：能否类比这种方法来解决不完全归纳法存在的问题呢？你能证明这个猜想是正确的吗？引例在数列{na}中,1a＝1,11nnnaaa(n∈),*N（1）求2a，3a，4a的值；（2）试猜想该数列的通项公式．234111,,234aaa1nan探究发现形成概念任意相邻的两块牌，前一块倒下一定导致后一块牌倒下．第一项成立第k项成立，第k+1项成立．第一块骨牌倒下1234kK+1…………n=1时11a如果n=k时猜想成立即……1kak那么当n=k+1时猜想也成立，即111=1+11kkakk猜想成立证明一个与正整数有关的命题步骤如下：(2)假设当n＝k(k∈N*,k≥n0)时命题成立,证明当n＝k＋1时命题也成立．完成这两个步骤后,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都正确．(1)证明当n取第一个值n=n0时命题成立*0nN——这种证明方法叫做数学归纳法．归纳奠基归纳递推框图表示了数学归纳法的基本过程：（1）验证：n=n0（n0∈N+）时命题成立。（2）证明：假设n=k（k≥n0）时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。结论：命题对所有的n（n0∈N+，n≥n0）成立归纳奠基归纳递推22222222221231,623512,6347123,64591234,6.情境1.观察下列各等式，你发现了什么？归纳22222(1)(21)1234.6nnnn思考：你由不完全归纳法所发现的结论正确吗？若不正确，请举一个反例;若正确，如何证明呢？师生互动讲练结合类比多米诺骨牌游戏证明猜想的步骤为：(1)证明当n=1时猜想成立(2)证明若当n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立.22222(1)(21)1234.6nnnn完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的。相当于第一张牌能倒下相当于使所有骨牌倒下的第2个条件222222(1)[(1)1][2(1)1]1234(1)6kkkkk目标：证明①当n=1时，左边＝1＝右边,等式显然成立。例1证明：递推基础递推依据22222*(1)(21)1234().6nnnnnN22222(1)(21)12346kkkk2222221234(1)kk②假设当n=k时等式成立，即那么,当n=k+1时，有即当n=k+1时,等式也成立。综上①②可知，对任何nN*等式都成立。凑结论2(1)(21)(1)6kkkk(1)[(1)1][2(1)1]6kkk从n=k到n=k+1有什么变化凑假设变式训练1：2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！11111=(1)()()22311111nnnnnnk1左边，所以时等式成立。*111()1223(1)1nnNnnn证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,综上①②知,对一切正整数n,原等式均正确.变式训练2：缺乏“递推依据”证明①当n=1时,左边=,21211*111(2)()1223(1)1nnNnnn1)1(1321211kkkk11111223(1)(1)(2)111(1)(2)(1)1kkkkkkkkkk这才是数学归纳法②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即21111右边=此时，原等式成立。那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.综上①②知,对一切正整数n,原等式均正确.用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当取第一个值（如或2等）时结论正确；10nn0n（2）假设时结论正确，证明时结论也正确．)N(0nkkkn且1kn递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”“综合（1）（2），……”不可少！注意:数学归纳法使用要点：两步骤,一结论。(2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，一个结论；(3)数学归纳法优点：即克服了完全归纳法的繁杂的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足。(4)数学归纳法的基本思想：运用“有限”的手段来解决“无限”的问题(1)数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法合作交流总结提高数学思想：递推思想、类比思想、归纳思想数学方法：数学归纳法——证明与正整数有关的命题数学知识：数学归纳法要点：两步骤一结论课后作业阳光课堂与课本：第95页练习1第96页习题2.3B组1思考：步骤(1)中n取的第一个值n0一定是1吗？为什么？举例说明：用数学归纳法证明n边形的对角线的条数是32nn0n？此时n取的第一值思考：用数学归纳法证明11·2＋12·3＋13·4＋…＋1n(n＋1)＝nn＋1(n∈N*)，从“n＝k到n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是()A.1k(k＋1)B.1k(k＋1)＋1(k＋1)(k＋2)C.1k(k＋2)D.1(k＋1)(k＋2)分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：深入探究发现问题（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(nN*)证明：假设当n=k时等式成立，即2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(kN*)那么，当n=k+1时，有2+4+6+8+…+2k+2（k+1)=k2+k+1+2(k+1)=(k+1)2+(k+1)+1,因此，对于任何nN*等式都成立。缺乏“递推基础”事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！这就是说，当n=k+1时,命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(2)()1223(1)1nnNnnn没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法请修改为数学归纳法证明①当n=1时,左边=,212111)1(1321211kkkk②假设n=k(k∈N*)时原等式成立，即此时，原等式成立。那么n=k+1时,由①②知,对一切正整数n,原等式均正确.11==1+12右边用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固则当n=k+1时，)1(...433221kk)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk＝=)2)(1(kk)131(k即当n=k+1时命题正确。综上(1)(2)可知，当，命题正确。nn=2111)1(31kkk证明:2)假设n=k时命题成立,即1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝)2)(1(31kkk1)当n=1时，左边=1×2=2,右边==2.命题成立1×1×2×33从n=k到n=k+1有什么变化凑假设凑结论（3）（纠错题）课本P87T32nn2(nN*)证明：①当n=1时，2112,不等式显然成立。②假设当n=k时等式成立，即2kk2,那么当n=k+1时，有2k+1=22k=2k+2kk2+k2k2+2k+1=(k+1)2.这就是说，当n=k+1时不等式也成立。根据（1）和（2），可知对任何nN*不等式都成立。虽然既有“递推基础”，又用到假设（“递推依据”），但在证明过程中出现错误，故上述证法错误！事实上，原不等式不成立，如n=2时不等式就不成立。练习巩固n+22n+1*-+++=a≠1,nN11-a1+aaaa...1、用数学归纳法证明：“”在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（）A．1B.C．D.1+a21+a+a231+a+a+a2.已知:,则等于()A:B:C:D:131...2111)(nnnnf)1(kf1)1(31)(Kkf231)(Kkf11431331231)(KKKKkf11431)(KKkfCC3.用数学归纳法证明:1×2＋2×3＋3×4＋……＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固4、用数学归纳法证明：2)1()1()1(4321121222nnnnn5．求证:当n∈N*时，nnnnn212111211214131211练习用数学归纳法证明2*135(21)().nnnN证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．2135(21)[2(1)1](1)kkk目标：这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．（2）假设当n=k时，等式成立，即2135(21).kk递推基础递推依据222135(21)[2(1)1][(2(1)1]21(1)kkkkkkk那么当n=k+1时，3.用数学归纳法证明1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1)＝)2)(1(31nnn练习巩固从n=k到n=k+1有