第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入

1.理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．数系的扩充与复数的引入[理要点]一、复数的有关概念1．复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的和．若，则a＋bi为实数；若，则a＋bi为虚数；若，则a＋bi为纯虚数．实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠02．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．a＝c，b＋d＝0a＝b，c＝d4．复数的模向量OZ的长度叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.二、复数的几何意义1．复平面的概念：叫做复平面．2．实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做，y轴叫做，实轴上的点都表示；除原点以外，虚轴上的点都表示．实轴虚轴建立直角坐标系来表示复数的平面实数纯虚数3．复数的几何表示：复数Z＝a＋bi复平面内的点平面向量.一一对应Z(a，b)一一对应OZ三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝(c＋di≠0)．(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)iac＋bd＋bc－adic2＋d22．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝，(z1＋z2)＋z3＝．z2＋z1z1＋(z2＋z3)[究疑点]1．任意两个复数能比较大小吗？提示：不一定，只有这两个复数全是实数时才能比较大小．2．若z∈C，z＝z，则z是实数吗？提示：是实数．∵设z＝a＋bi，a，b∈R，则z＝a－bi.又z＝z，∴a＋bi＝a－bi，∴b＝0，∴z是实数．[题组自测]1．若z＝(x2－1)2＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为()A．－1B．0C．1D．－1或1解析：∵z为纯虚数，∴x2－1＝0，x－1≠0，∴x＝－1.答案：A解析：由题可知a＋2ii＝b＋i，整理可得a＋2iii2＝b＋i，即2－ai＝b＋i，根据复数相等可知a＝－1，b＝2，所以a＋b＝1.2．(2010·山东高考)已知a＋2ii＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝()A．－1B．1C．2D．3答案：B3．若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．解析：∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，∴(z1－z2)i＝(－2＋20i)i＝－20－2i，∴复数(z1－z2)i的实部为－20.答案：－204．已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)纯虚数．解：(1)当z为实数时，则有a2－5a－6＝0a2－7a＋6a2－1有意义∴a＝－1或a＝6a≠±1，∴a＝6，即a＝6时，z为实数．(2)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0a2－7a＋6a2－1＝0’∴a≠－1且a≠6a＝6且a≠±1.∴不存在实数a使z为纯虚数．在本题不变的情况下，试求a取何值时，z对应的点在直线x－y＝0上．解：∵点在x－y＝0上，∴a2－7a＋6a2－1＝a2－5a－6，即a－1a－6a－1a＋1＝(a＋1)(a－6)，即a＝6或(a＋1)2＝1，∴a＝6或a＝0或a＝－2.[归纳领悟]处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题.[题组自测]1．(2010·天津高考)i是虚数单位，复数－1＋3i1＋2i＝()A．1＋iB．5＋5iC．－5－5iD．－1－i解析：原式＝－1＋3i1－2i1＋2i1－2i＝5＋5i5＝1＋i.答案：A2．已知a是实数，a－i1－ii是纯虚数，则a的值为()A．1B．－1C.2D．－2解析：由于a－i1－ii＝a－1－a＋1ii＝a＋1＋a－1i－1＝－(a＋1)－(a－1)i，且为纯虚数，所以a＋1＝0，a＝－1.答案：B解析：1＋2i2＋i1－i2＝2＋4i＋i＋2i2－2i＝5i－2i＝－52.3．复数1＋2i2＋i1－i2等于()A.52B．－52C.52iD．－52i答案：B4．计算：(1)－1＋i2＋ii3；(2)1＋2i2＋31－i2＋i；(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2.解：(1)－1＋i2＋ii3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)1＋2i2＋31－i2＋i＝－3＋4i＋3－3i2＋i＝i2＋i＝i2－i5＝15＋25i.(3)1－i1＋i2＋1＋i1－i2＝1－i2i＋1＋i－2i＝1＋i－2＋－1＋i2＝－1.[归纳领悟]1．在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1＋i)2＝2i；(2)(1－i)2＝－2i；(3)1＋i1－i＝i；(4)1－i1＋i＝－i；(5)－b＋ai＝i(a＋bi)；(6)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.2．复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧．[题组自测]1．若复数z满足(1＋i)z＝1－3i，则复数z在复平面上的对应点在()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限解析：由已知得z＝1－3i1＋i＝1－3i1－i1＋i1－i＝－1－2i，则z所对应的点为(－1，－2)，故z对应的点在第三象限．答案：B2．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数z1＋i的点是()A．EB．FC．GD．H解析：依题意得z＝3＋i，z1＋i＝3＋i1＋i＝3＋i1－i1＋i1－i＝4－2i2＝2－i，该复数对应的点的坐标是(2，－1)．答案：D3．如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO表示的复数，BC表示的复数；(2)CA所表示的复数；(3)设P为复平面上一点且满足|OP|＝|CA|，求P点的轨迹方程．解：(1)AO＝－OA，∴AO表示的复数为－3－2i.∵BC＝AO，∴BC表示的复数为－3－2i.(2)CA＝OA－OC，∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)设P代表的复数为z＝x＋yi(x，y∈R)，|CA|＝52＋－22＝29，∴|OP|＝29，∴P点轨迹是以原点为圆心，以29为半径的圆，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝29.[归纳领悟]1．|z|表示复数z对应的点与原点的距离．2．|z1－z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离．结合复数的几何意义、运用数形结合的思想，可把复数、解析几何有机地结合在一起，达到了学科内的融合，而且解题方法更灵活．一、把脉考情从近两年的高考试题来看，复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的代数运算是高考的热点，每套高考试卷都有一个小题，并且一般在前三题的位置上，主要考查对复数概念的理解以及复数的加减乘除四则运算．预测2012年高考仍将以复数的基本概念以及复数的代数运算为主要考点，重点考查运算能力．二、考题诊断1．(2010·福建高考)i是虚数单位，(1＋i1－i)4等于()A．iB．－iC．1D．－1解析：(1＋i1－i)4＝[1＋i22]4＝i4＝1.答案：C2．(2010·辽宁高考)设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi＝1＋i，则()A．a＝32，b＝12B．a＝3，b＝1C．a＝12，b＝32D．a＝1，b＝3解析：等式的两边同乘以a＋bi，整理得1＋2i＝(a－b)＋(a＋b)i，则a－b＝1a＋b＝2，∴a＝32，b＝12.答案：A3．(2010·北京高考)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i解析：两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i.答案：C点击此图片进入“课时限时检测”