第四章 第四节 数系的扩充与复数的引入..

第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14第四节数系的扩充与复数的引入第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列141．理解复数的基本概念．2．理解复数相等的充要条件．3．了解复数的代数表示法及其几何意义．4．会进行复数代数形式的四则运算．5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点一知识点一知识点二复数的有关概念1．复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的和．若，则a＋bi为实数；若，则a＋bi为虚数；若，则a＋bi为纯虚数．2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔(a，b，c，d∈R)．3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔(a，b，c，d∈R)．4．复数的模：向量OZ→的长度叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.知识点三实部虚部b＝0b≠0a＝0，b≠0a＝c，b＝da＝c，b＋d＝0第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点一知识点一知识点二易误提醒注意两个虚数不能比较大小．必记结论(1)i乘方的周期性in＝1，n＝4k，i，n＝4k＋1，－1，n＝4k＋2，－i，n＝4k＋3，(k∈Z)(2)z·z＝|z|2＝|z|2.知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点一[自测练习]1．已知复数a＋bi＝i(1－i)(其中a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b的值为()A．－2B．－1C．0D．2知识点一知识点二知识点三解析因为i(1－i)＝i－i2＝1＋i，由题意得a＋bi＝1＋i，根据两个复数相等的定义可得a＝1，b＝1，所以a＋b＝2.D第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点一2．已知i为虚数单位，a∈R，如果复数2i－a1－i是实数，则a的值为()A．－4B．2C．－2D．4知识点一知识点二知识点三解析∵2i－a1－i＝2i－a1＋i1－i1＋i＝2i－a2－a2i＝2－a2i－a2∈R，∴2－a2＝0，∴a＝4.D第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点二复数的几何意义知识点一知识点二知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点二3．在复平面上，复数2＋ii对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析复数2＋ii＝2＋i－ii×－i＝1－2i与点(1，－2)对应．[自测练习]知识点一知识点二知识点三D第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点三复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝；(4)除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bd＋bc－adic2＋d2(c＋di≠0)．知识点一知识点二知识点三(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点三2．复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．3．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1—→，OZ2—→不共线，则复数z1＋z2是以OZ1—→，OZ2—→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1—→－OZ2—→＝Z2Z1—→所对应的复数．知识点一知识点二知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点三必明技法(1)证明复数是实数的策略：①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；②z∈R⇔z＝z.(2)证明复数是纯虚数的策略①z＝a＋bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0(a，b∈R)；②b≠0时，z－z＝2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z＋z＝0且z≠0.必记结论(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i.(2)i(a＋bi)＝－b＋ai.知识点一知识点二知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点三4．已知(1＋3i)z＝1＋i，则z＝________.[自测练习]解析∵z＝1＋i1＋3i＝1＋i1－3i1＋3i1－3i＝4－2i1＋9＝25－15i，∴z＝25＋15i.25＋15i知识点一知识点二知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14知识点三5．若复数z满足z＋i＝3＋ii，则|z|＝________.解析因为z＝3＋ii－i＝1－3i－i＝1－4i，则|z|＝17.17知识点一知识点二知识点三第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点一题组训练复数的概念|(1)(2015·高考天津卷)i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析∵(1－2i)(a＋i)＝2＋a＋(1－2a)i为纯虚数，∴1－2a≠0，2＋a＝0，解得a＝－2.－2第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点一题组训练(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．解析法一：∵i(z＋1)＝－3＋2i，∴z＝－3＋2ii－1＝－(－3i－2)－1＝1＋3i，故z的实部是1.法二：令z＝a＋bi(a，b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i得i[(a＋1)＋bi]＝－3＋2i，－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴b＝3，a＝1，故z的实部是1.1第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点一题组训练(3)如果复数m2＋i1－mi是实数，则实数m＝()A．－1B．1C．－2D.2解析因为m2＋i1－mi＝m2＋i1＋mi1＋m2＝m2－m＋1＋m3i1＋m2是实数，所以1＋m31＋m2＝0，所以m＝－1，选A.A第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点一题组训练处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点二复数的运算|(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2(2)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A．1B.2C.3D．2(3)(2015·高考北京卷)复数i(2－i)＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i(4)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝________.(5)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝________.解析(1)∵(2＋ai)(a－2i)＝－4i⇒4a＋(a2－4)i＝－4i，∴4a＝0，a2－4＝－4，解得a＝0.(2)由已知1＋z1－z＝i，可得z＝i－1i＋1＝i－12i＋1i－1＝－2i－2＝i，∴|z|＝|i|＝1，故选A.(3)i(2－i)＝2i－i2＝1＋2i，故选A.(4)法一：|z|＝|3＋i||1－3i2|＝12，z·z＝|z|2＝14.BAA14－42i题组训练第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点二(1)(2015·高考全国卷Ⅱ)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝()A．－1B．0C．1D．2(2)设复数z满足1＋z1－z＝i，则|z|＝()A．1B.2C.3D．2(3)(2015·高考北京卷)复数i(2－i)＝()A．1＋2iB．1－2iC．－1＋2iD．－1－2i(4)已知复数z＝3＋i1－3i2，z是z的共轭复数，则z·z＝________.(5)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝________.解析法二：z＝3＋i－21＋3i＝－34＋i4，z·z＝－34＋i4－34－i4＝14.(5)2＋2i34＋5i5－4i1－i＝221＋i3i5－4i5－4i1－i＝221＋i4i2＝2i(1＋i)4＝2i[(1＋i)2]2＝2i(2i)2＝－42i.BAA14－42i题组训练第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点二题组训练复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点三复数的几何意义|演练冲关典题悟法(1)(2015·云南统考)已知i为虚数单位，zi＝2i－z，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析由题可得，z(i＋1)＝2i，∴z＝2ii＋1＝1＋i，∴z在复平面内对应的点位于第一象限．A第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点三演练冲关典题悟法(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：①AO→，BC→所表示的复数；②对角线CA→所表示的复数；③B点对应的复数．解析①AO→＝－OA→，∴AO→所表示的复数为－3－2i.∵BC→＝AO→，∴BC→所表示的复数为－3－2i.②CA→＝OA→－OC→，∴CA→所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.③OB→＝OA→＋AB→＝OA→＋OC→，∴OB→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点三演练冲关典题悟法因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可．第四节数系的扩充与复数的引入抓主干知识回顾课时跟踪检测上页下页研考向考点研究思想与方法系列14考点三演练冲关典题悟法解析已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，由题意得x＝4.∴z＝4－2i.∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件