第四章 线性方程组

2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数439第四章线性方程组2008年考试内容线性方程组的克莱姆（Cramer）法则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件非齐次线性方程组有解的充分必要条件线性方程组解的性质和解的结构齐次线性方程组的基础解系和通解解空间非齐次线性方程组的通解2008年考试要求1.会用克莱姆法则。2.理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。3.理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法。4.理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。5.掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。一、三基与拓展1n元齐次方程组0Ax(n为未知数的个数)的解系统1）一定有解。2）解的结构rAn有唯一零解；rAn有nrA个线性无关的解向量，称为基础解系（它不是唯一的，一般取最简单的整数形式），它构成解的线性空间S（称为解空间），解得空间维度为RSnrA，它是一个极大无关组，0Ax的任何一个解都可以由他们线性表出，即11220inRAnRAAxxkkkk为不全为零的任意常数3）解的性质若12,是0Ax的解，则1212,,kk也是0Ax的解。陈氏第26技RREF法全面解决0Ax和Axb的解。4）求解0Ax的方法定势---RREF法①将A化为简化行阶梯形（RREF），如有r个非零行，则基础解系中有nr个解向量；②选非主元所在的列的对应的变量为自由未知量，共有nr自由未知量；③将自由未知量表示为主元的线性叠加的，表示式中的系数为对应非主元列向量2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数440的负值，缺少的主元分别取nr个线性无关的单位向量10000100,,01之一，依次补满到n维向量，并把每一未知量的解向量全部元素化为互质整数，这样求得的nr线性无关的解就是基础解系。⑤基础解系中nr个向量的线性组合就是所求的通解。【例1】求下列齐次方程组的一个基础解系123451234512345123454302355032035670xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：11143111431114310212213550113101131011311132102262000000000031567022620000000000RREFA主元为12,xx对应的列，选非主元345,,xxx为自由未知量，它们所在的行对应乘以主元12,xx的系数（恒等于1）的负值，即为三个解向量122,,的12,xx坐标的值，由于原方程有5个未知数，故需要用单位向量3E的三列分别补上345,,xxx的位置，则基础解系为：112345212345312345211001301021001TTTTTTxxxxxxxxxxxxxxx评注如果A化成一般阶梯形时，求解很方便，就没必要继续化为简化行阶梯形，而利用等价方程组直接求出基础解系。上述方法还是求矩阵特征向量（对应某一特征值）的基本步骤，望读者务必掌握，【例2】再次让你掌握其精髓。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数441【例2】求下列齐次方程组的通解：12341234123424530364204817110xxxxxxxxxxxx解：RREF21201211724535536420010017748171100000000A只能行变换只能行变换在上述的RREF中，有两个主元13xx和，主元的个数就是秩2RA，解向量有422nRA个基础解，又由于有4个未知数，故使用2E的两列1001和分别补上24xx和的位置，最后所求的基础解系如下：1122123344112212122227100,05570712210,0507xxxxxxxxkkkkkk化为互质的整数通解为不全为零5）n元齐次方程组0Ax与矩阵秩的联系将矩阵看成是列向量构成的这个观点十分重要，正是因为这个视角，结合分块矩阵的运算方法，就可以把矩阵的乘积0AB和齐次方程组联系起来，从而可以利用方程组的解系统理论来解决有关矩阵秩的题型。【例3】设,AB都是n阶方阵，齐次方程组0AX，0BX有相同的基础解系123,,，则123,,必是（）的基础解系。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数442000AABXBABXACXDB以上都不对解：齐次方程组的解具有三个要素：一是方程组的解；二是线性无关；三是所有的解都能由nRA个解向量线性表出（注意：n是方程组未知数的个数）。依题意，3RARBn，显然123,,是ABC的解，而且是线性无关的，故D不对。下面关键是判断ABC中，哪个方程组的系数矩阵的秩是3n或哪个方程组得任意一个解能由123,,线性表出。A由于RABRA，故不对；B由于RABRA，故也不对；C使用排除法，当然对。我们将分析如下：由于00,0AXAXBXB，同时成立。设是0AXB的任意一个解，则有0,0AB同时成立，就能由0,0AXBX的基础解系123,,线性表出，故C正确。【例4】设B是三阶非零矩阵，B的每一列向量都是下列方程组得解1231231232202030xxxxxtxxxx求t和RB。解：12221311AtB是三阶非零矩阵，则方程组有非零解2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数443122120212115101311310Atttt依题意，0AB，则3RARB1221201211210231131032101tARARBRBRB2n元非齐次方程组Axb的解系统1）无解充要条件rArAb2）有解充要条件rArAb●rArAbn有唯一解0DA，其解由克莱姆法则得出iiDxD（1,2,in）求得。●rArAbn有无穷多个解3）Axb与0Ax解的关系①0Ax称为Axb的导出组。②0Ax的解无条件存在，但由此不能推出Axb是否有解；反过来，如果Axb有唯一解，则0Ax只有零解，如果Axb有无穷多个解，则0Ax有非零解。③Axb的一般解为Axb的一个特解和其导出租一般解的和，设0Axb是一个特解，12,,0nrAx是的基础解系，则Axb有无穷解时，可表示为01122nRAnRAXkkk评注所谓特解是指不含待定系数的解，通解就是含待定系数的解，当待定系数被2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数444确定时，通解就变成了特解。4）无解和有解的本质---同维解空间关系rArAb究竟有什么内涵：首先如果1rAr，就意味0AX有1r个独立方程和1r个独立的自由变量，其余的1nr个变量可以由这r个向量组成的极大无关组表示出来，也就是说0AX的解空间为1nr维；2rAbr表示有2r个独立的合理方程，即2r个方程不仅相互独立，而且相互没有矛盾，也就是AXb的解空间为2nr维，如果1212rArAbrrnrnr，意味两个解空间不同维，不同维度的向量是不能相互叠加的，犹如三维和二维坐标空间不能相互运算一样，原方程必无解。同理rArAb必有解。在同维解空间内，即rArAb时，如果AXb独立方程的个数rA或rAb等于未知数的个数n，则有唯一解，否则，有无穷多个解。5）Axb的求解方法-----RREF法把增广矩阵Ab化成简化行阶梯形（RREF），最右边的一列就是Axb的特解。去掉最右边的一列，剩下的矩阵就是系数矩阵A的简化行阶梯形，据此可求出基础解系。例如，假如102101110000Ab，则101122110,211110211TTTTnRAnRAxkkkxk6）Axb解的三大性质12,是Axb的两个解122也是Axb的一个解，而12是导出组0Ax的一个解；但12不是导出组0Ax的解；是Axb的一个解，是导出组0Ax的一个解是Axb的一个解。123,,是Axb的三个线性无关的解，则导出组0Ax至少有两个线性无关的解112213,2nRA，依次类推。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数445【例5】设方程组12312312321230202140xxxxxaxxxxaxxax与方程有公共解，求a的值和所有公共解。解：联立两个方程得非齐次方程组得1231232123123232020402111101110120011014000210121100111211100100100000000xxxxxaxxxaxxxxaaaAbaaaaaaRARAbaaAb基础解系为-=依题意此方程必须有解或13,110011111010000011001012100000011-100110000RARAbxkaaAbxaa个解向量有唯一解(特解)【例6】设矩阵45A的行向量线性无关，则下列错误的是（）00,,TTTAAXBAAXCbAXbDbAXb只有零解必有无穷多解有唯一解总有无穷多解解：选C。AT44RARA行满秩列满秩，则0TAX只有零解正确。BTAA是5阶方阵，40TTRAARAAA，故0TAAX必有无穷多解正确。2009智轩考研数学创高分红宝书系列---线性代数446C54,4TTTAARARA，则TAXb中b必为5维列向量，且完全可以取这样的b，使5TTRAbRA，从而使TAXb无解。故,TbAXb有唯一解不正确。DAXb中b必为4维列向量，A有4个线性无关的列向量，任意b和4个线性无关的列向量就构成5个4维列向量，故必线性相关，也就是b可由A的4个线性无关的列向量线性表出，而导出组0AX是个5元齐次方