经济数学第1章1.5

1.5函数的连续性1.5.1函数的连续性1.函数的增量定义1.13)(xfy0xxx)(0xf)(xf)()(0xfxfy设函数在点的某邻域内有定义，当自变量由0x变到，称差x0x为自变量在0x处的增量或改变量，通常用表示，即xx0x。相应地，函数值由变到称差，为函数)(xf在0x处的增量或改变量，记作，即)()(00xfxxfy)()(0xfxfy可以是正值，也可以是负值，也可以为零【说明】x和y2.连续的定义)(xfy0x0x0y由左图可以看出，函数在点处是连续的，且有当时，有。)(xfy0x0x0y由右图可以看出，函数在点处是断开的，且有当时，有。观察下列函数图形，分析有何特征结论：左图在处是连续的，右图在处是间断的0x0x定义1.14)(xfy0xx)(xfy设函数在点的某邻域内有定义，在0x。相应地，函数处给自变量以增量的增量为,如果0lim0yx,则称函数)(xf在点0x处连续，点0x称为函数)(xf的连续点；否则就称函数)(xf在点0x点0x处间断，称为函数)(xf的间断点。xxx00x0xx0lim0yx)()(lim00xfxfxx令，那么时，也成立。于是；反之，处连续的充要条件是因此，函数)(xf在点0x)()(lim00xfxfxx例1.5.1证明：在点2)(xxf0x处连续。证明函数2022)lim(lim)(lim000xxxxfxxxxxx200)(xxf因为而所以函数在点2)(xxf0x处连续。)()(lim00xfxfxx)(xf，则称函数0x)()(lim00xfxfxx如果在点处左连续；如果，则称函数在点处右连续。)(lim)()(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx右连续。由于函数)(xf0x在点连续的充要条件是函数)(xf0x在点既左连续又)(xf函数0x在点连续必须同时满足三个条件：)(0xf（1）函数)(xf0x在点有定义，即是一个确定的数；)(lim0xfxx)(lim0xfxx)(lim0xfxx（2）极限存在，即左极限与右极限存在，且相等；)()(lim00xfxfxx。（3）极限值等于函数值，即例1.5.2解：在0,20,cos1)(xxxxxf0x处的连续性。讨论函数在002)0(f0)cos1(lim)(lim00xxfxx02lim)(lim00xxfxx)0()(lim0fxfx)(xf处是连续的。因为；又于是有，所以0x解：例1.5.3为何值时，函数ab在0sin00)(x，xbxxa，x，exfx0x处的连续。问、处连续，所以)(xf)0()(lim)(lim00fxfxfxxaf)0(bxbxxfxxsinlim)(lim001lim)(lim00xxxexf1ba所以由于在0x，因为；又【课堂练习一】0x处的连续性。1．讨论下列函数在12)(2xxxf0x处（1）在0,10,2sin)(xxxxxxf（2）0x处在1,1,1,123)(2xbexaxxxxxfx为何值时，函数ab问、2．1x处连续。在定义1.15内每一点都连续，则称函数)(xfy),(baab],[ba如果函数在区间)(xfy),(ba在区间内连续；如果函数在开区间),(ba内连续，又在左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数在闭区间上连续。定理1.63.初等函数的连续性定理1.7，)(xf)(xg0x)()(xgxf)()(xgxf)0)(()()(0xgxgxf如果函数与在点处连续，则函数与在点0x处都连续。在点)(xu)(ufy0u)(00xu)]([xfy处连续。如果函数在点0x处连续，函数处连续，且，则复合函数在点0x解：可知：初等函数在其定义区间内都是连续的。可以证明基本初等函数在其定义区间内均连续，根据定理1.6与1.7例1.5.4432xxxy的间断点。求函数，所以函数0432xx的间断点为4,1xx432xxxy由解得4,1xx例1.5.5解：xxy1的连续区间。求函数),0()0,1[因为函数的定义域为，所以函数xxy1的连续区间为),0()0,1[解：)](lim[)]([lim00xfxfxxxx例1.5.6求下列极限。xxcoslnlim4xxx10)1ln(lim（1）（2）处有极限，且函数在点)(xu0x)(ufy0u)(00xu如果函数在点处连续，且，则2ln2122ln4coslncoslnlim4xx（1）1ln])1(limln[)1ln(lim1010exxxxxx（2）【课堂练习二】92335lim320xxxexx3．求极限xxxf22)(1．求函数的间断点与连续区间。0,130,2cos1)(2xxxxxxf2．求函数的间断点与连续区间。1.5.2闭区间上连续函数的性质定理1.8)(xf],[ba上一定有最大值和最小值。（最值定理）如果函数在闭区间上连续，则函数)(xf],[ba在闭区间()yfxbaOxym()yfxbaOxy()yfxbaOxybaOxyOxymm定理1.9)(xf],[ba上的最大值和最小值。（介值定理）如果函数在闭区间上连续，)(xf],[ba在闭区间mM分别为函数c),(bacf)(，至少存在一点和则对介于m和M之间的任一实数使得推论)(xf],[ba（零值定理）如果函数在闭区间上连续，使得),(ba0)()(bfaf0)(f且，则至少存在一点0)(xf),(ba内至少有一个根。推论表明：连续函数)(xf满足0)()(bfaf，则方程在区间例1.5.7解：013xx)1,0(内至少存在一个根。证明方程在区间1)(3xxxf)(xf]1,0[01)1(,01)0(ff设函数，由于函数在闭区间上连续，且)1,0(01)(3f故由零点定理知，至少存在一点，使得【1.5小结】连续的概念闭区间上连续函数的性质连续函数的概念求连续区间求间断点最值定理连续定义0lim0yx等价定义)()(lim00xfxfxx介值定理零点定理习题116~22【作业】