《工程数学》课程十二――复变函数五

主讲教师:冉扬强工程数学复变函数辅导课程十二第三章复变函数的积分§5柯西积分公式第二篇复变函数§5柯西积分公式定理(柯西积分公式)：设c为区域D的边界，在上解析，则对于区域D内任一点，有讨论：1)柯西公式表明，对于某有界闭区域上解析的函数，它在区域内任一点的值用它在边界上的值表示出来.或者说解析函数在边界上的值完全决定了它在区域内部各点的值.001()()2cfzfzdzizz0z2)对于复连通区域内的解析函数，只要将积分路径c理解为该区域的全部边界(都取正方向)，则柯西积分公式仍然成立，例如：由组成的复连通区域D，(的正方向如图3.9所示)，则：有3)利用柯西积分公式可以计算某些复变函数沿闭曲线的积分.例7：设c为圆周，求解：由于函数在内只有一个奇点在内解析，由柯西公式可得§6解析函数的高阶导数定理：设区域D的边界为围线c，在上解析，则函数的n阶导数存在，且讨论：1)该定理说明，解析函数的任意阶导数都存在，换句话说，在某个区域上，复变函数只要处处都有一阶导数，也就有任意阶的导数.()010!()()2()nncnfzfzdzizz0zD2)可以将n阶导数公式与柯西积分公式通称为柯西公式，其主要应用是通过求导来求积分.例8计算，其中c是由确定的区域.解：所以在内有两个奇点，分别以i,-i为心作两个互不相交的圆，使它们含于c内，则由柯西定理得对于第一个积分，由于在内解析，由柯西公式得同理§7解析函数与调和函数的关系1、调和函数的定义定义：如果实变函数在某区域D上有二阶连续偏导数，并且满足方程则称为区域D上的调和函数，方程称为拉普拉斯方程.2、解析函数的实部和虚部是调和函数设在区域D上解析，则C--R条件成立，.我们知道，某个区域上的解析函数在该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏导数,两式相加可得同理可得即,都满足拉普拉斯方程，是调和函数。注意：反过来定理不一定成立，如果是调和函数，不一定解析，因为解析函数必须满足C--R条件.由C--R条件联系着的调和函数u与v称为共轭调和函数，这样上述定理可表述为：定理：任何一个在区域D上的解析函数，其实部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。由上面的讨论可得，解析函数的实部与虚部互为共轭调和函数。如果已知一个调和函数，可以把它作为某解析函数的实部（或虚部），然后利用柯西—黎曼条件求出它的共轭调和函数，该调和函数为解析函数的虚部(或实部)，由此得到一个解析函数。第四章级数主要内容(1)、复数项级数的基本概念和性质(2)、幂级数的收敛性，幂级数在收敛圆内的性质(3)、解析函数的泰勒展式(4)、双边幂级数，解析函数的罗朗展式重点和难点重点：幂级数的收敛性，收敛半径；解析函数的泰勒展式和罗朗展式难点：解析函数的泰勒展开和罗朗展开第四章级数§1复数项级数一、数项级数1、定义：考虑各项均为复数的级数它的每一项都可分为实部和虚部，设为，则级数的部分和为：2、级数的收敛性如果为有限数s，则称级数收敛，并称s为它的和，记为不收敛的级数称为发散级数，显然这样复数项级数的收敛问题就归结于两个实数项级数的收敛问题，即级数收敛于的充要条件是两个实级数及分别收敛于及。3、绝对收敛和条件收敛如果由级数各项的模所构成的级数收敛，则称绝对收敛。收敛而非绝对收敛的级数，称为条件收敛，显然，绝对收敛必收敛。二、一致收敛的函数项级数讨论各项均在区域D有定义的函数项级数1、定义：如果对于D上每一点Z，上述级数均收敛，就称级数在D上收敛，其和在D上构成一函数，称为级数的和函数，记为2、性质：如果级数在D上一致收敛于(1)若在D上连续，则也在D上连续，即由连续函数组成的一致收敛的函数项级数的和也连续。(2)如果在C上连续，则沿C可逐项积分，且(3)如果在D上解析，则在D上解析，并且即一致收敛于3、一致且绝对收敛判别法如果对于某区域D上所有各点z，复数项级数各项的模，而正的常数项级数收敛，则复变函数项级数在D上绝对且一致收敛。级数称为的强级数，即其强级数收敛的复变函数项级数一致且绝对收敛。§2幂级数一、幂级数的收敛性1、幂级数各项均为幂函数的复变项级数其中，都是复常数，这样的级数叫做以z0为中心的幂级数。2、幂级数的收敛性，收敛半径先看由上级数各项的模所组成的正项级数应用正项级数的比值判别法可知，如果则级数收敛，即原级数绝对收敛，可引入记号即，如果则原级数绝对收敛，如果，则即级数后面的项的模越来越大，不满足级数收敛的心要条件，因而级数发散，即当时，级数(1)发散。以为圆心作一半径为R的圆周，原幂级数在圆的内部（即）绝对收敛，在圆外发散，这个圆叫幂级数的收敛圆，它的半径R叫做收敛半径，在收敛圆周上各点，幂级数可能收敛，也可能发散，应具体分析。用根值判别法可得到收敛半径的另一公式例1.求级数的收敛半径。解：故级数在任何z点收敛。1!111!1!limlimlimlim1!nnnnnnnnnaRnan例2.求级数的收敛半径。解：故它们的收敛半径都为1。在收敛圆周上，即1210,,nnnnnnnznzz01:lim1nnnnnazRa1111:limlimlim111nnnnnnnaznnRnann222211211:limlimlim11(1)nnnnnnnnaznRnann，由于通项不趋于零，故处处发散。当时，收敛，当时，发散，其余的具体而定。由于收敛，所以在上收敛。3、幂级数在收敛圆内的性质(1)幂级数在收敛圆的内部绝对且一致收敛。(2).幂级数的和函数在收敛圆内解析。1nnnz4.几何级数201nnnzzzz201111nnnzzzzzz