应用随机过程--第三章

第3章Poisson过程3.1Poisson过程定义3.1：计数过程的定义过程，先给出过程是一类重要的计数Poisson称为计数过程，随机过程}0),({ttN如果发生的次数，时刻某一特定事件到表示从AttN0)(它具备以下两个特点：取值为整数；)()1(tN发生的次数。内事件时间表示且时，AtssNtNtNsNts],()(-)()()()2(用，计数过程有着广泛的应如：某商店一段时间内购物的顾客数；呼叫的次数；某段时间内电话转换台加油的人数等。加油站一段时间内等候间中发生的事件个数是如果在不相交的时间区程有独立增量。独立的，则称该计数过即当,321ttt是独立的。与有)(-)()(-)(2312tXtXtXtX。即对一切则计数过程有平稳增量时间区间的长度于事件个数的分布只依赖若在任一时间区间中的,中事件个数，在及],(02121stststt中事件的个数与区间],()()(2112ttstNstN有相同的分布。)()(12tNtNPoission过程是计数过程，而且是一类最重要、应用广泛的计数过程，它最早于1837年由法国数学家Poission引入。.质某些级数过程的主要性独立增量和平稳增量是.平稳增量的计数过程过程是具有独立增量和Poisson定义3.2：如果；0)0()1(N)0(}0),({称为参数为计数过程ttN过程，Poisson过程具有独立增量；)2(,0,)3(ts对任意的))(-)((nsNstNP!ntent）（且过程具有平稳增量知，注：由条件,)3(PoissonttNE)]([的平均次数，是单位时间内发生事件显然，可以认为。发生率起率过程的强度或速度或生为称)(Poisson例3.1：的平均速度到达，人设顾客到达商店依次h/3试求开门分布，已知商店上午且服从,00:9Poisson名顾客的概率？这一小时内最多有到从500:1000:9)1(位顾客的概率？时总计已达到时仅到一位顾客，而到到500:1200:10)2(.,)3(.)2(,0)1(),3()1(,,2.3:过程的等价定义为此给出如下如何去判定一般完全不清楚然而条件证程的实际情况去直接验通常可以从我们对过条件开始说明计数过程从条件则必须验证是否满足过程是不是数过程实际上为了确定一个任意的计知从定义注PoissonPoisson解：定义3.2’:一计数过程}0),({ttN称为参数为过程，若满足：的Poisson；0)0()'1(N)'2(是独立增量及平稳增量过程，即任取Nntttn,021)()(,),()(),0()(1121nntNtNtNtNNtN相互独立；})({})()({,0,0,ntNPntNtsNPnts且有和充分小的对任意,0,0)'3(ht)(}1)()({hhtNhtNP有和充分小的对任意,0,0)'4(ht)(}2)()({htNhtNP定义3.2’的解释:的现象可为什么实际中有那么多,?其根据是稀有事件原理过程来反映呢以用Poisson到：在概率论中我们已经学..,,过程中这一现象也体现在随机分布二项分布会逼近实验的次数很多时而的概率很小试验中，每次试验成功PoissonBernoulli分布。的参数为将服从分布的二项逼近可知，数。由试验中试验成功的总次次独立就相当于给出的平稳增量再由不发生的为失败次为成功其中发生PoissonttNPoissonBernoullintN)()(,)'2(,,1事件发生一次的概次以上的概率次或发生件时，在每个小区间内事可知，当条件则由个相等的时间小区间，划分为首先，将.022)'4(],0(nnt.1,),(试验次这恰好是很小显然率Bernoulliphntp定理3.1:是等价的。与定义定义'2.32.3证明：2.3'2.3定义定义})()({})({)(nsNtsNPntNPtPn由增量平稳性，记：0n（I）情形：因为0},0)()(,0)({}0)({htNhtNtNhtN我们有：)()(}0)()({}0)({}0)()(,0)({)(000hPtPtNhtNPtNPtNhtNtNPhtP另一方面))((1}0)()({)(0hhtNhtNPhP代入上式，我们有：hhtPhtPhtP)()()()(000令0h我们有：tetPNPPtPtP)(1}0)0({)0()()(0000（II）0n情形：因为：nlltNhtNlntNtNhtNntNtNhtNntNnhtN2})()(,)({}1)()(,1)({}0)()(,)({})({故有：)())()(())(1)(()(1hhhtPhhtPhtPnnn化简并令0h得：)()()(1tPtPtPnnn两边同乘以te，移项后有：0})0({)0()()(1nNPPtPetPetddnntnt当1n时，有：ttettPPtPetdd)()(0)0(,)(111由归纳法可得：0,!)()(NnenttPtnn注意：ttNEttNE)}({)}({因此代表单位时间内事件A出现的平均次数。'2.32.3定义定义}1)()({tNhtNP}1)0()({NhNP!1)(1heh0!)(nnnhh))(1(hohh)(hoh成立。——)'3(}2)()({tNhtNP}2)0()({NhNP2!)(nnhnhe2!)(nnhnhe]1!)([0hnhennh]1[heehhhhhee1)(h成立。——)'4(例3.2：求过程的服从强度为，设,}0)({PoissonttN};4)5({1(NP）};9)12(,4)5({2(NNP）}.4)5(|9)12({3(NNP）例3.3：过程的的发生形成强度为事件PoissonA},0),({ttN能够被记概率如果每次事件发生时以P过程。的是一个强度为则数，时刻记录下来的事件总表示录下来，并以PoissonPttMttM}0),({)(例3.4：考察了男女的客源情况某商场为调查顾客到来,客？大？平均有多少女性顾是女性顾客的概率有多位问其中有人到达的条件下时刻已有已知应该服从什么分布？到达商场顾客的总人数过程。人的人与每分钟别是独立服从每分钟的人数分假设男女顾客到达商场顾客来商场的人数30,50)2()1(21.tPoisson作业1：过的概率。分钟内至少有一辆车通）在（数方差。分钟内平均通过的车辆）在（数。分钟内平均通过的车辆在辆车通过的概率。分钟内有多于）求（概率为分钟内没有车辆通过的如果过程，流可以看做设通过某十字路口的车54535)2(121.2.01Poisson作业2：第三章习题3.53.2Poisson过程相联系的若干分布的阶梯型函数。跳跃度为的一条样本路径一般是过程1}0),({ttNPoisson.0,2,1:0TnnnTn定：次事件的等待时间，规称为第次事件发生的时刻，也是显然.}1,{1,2,1:也称为时间间隔序列间隔，序列次事件发生的时间次与是nXnnnXnnnTniiX1nX1nnTT复习：1.指数分布000)(xxexfx)()(xXPxFdttfx)(0001xxex2.无记忆性若随机变量满足}{)|(sXPtXtsXP是无记忆性的。则称随机变量X）（指数分布无记忆性.的无记忆性表示为：则看做某仪器的寿命如果将XX,小时它至少工作小时的条件下在仪器已工作了tst,的概率小时的概率是相同的。与它原来至少工作s的分布和一、nnTX定理3.2：.,,2,1,且相互独立的指数分布服从参数为nXn结论：),(~EX若,0,0ts则对任意的恒有：)|(tXtsXP}{sXP.,,).(),(,,,2.3相对应忆性无记与指数分布的无记忆性过程换言之增量由平稳分布且有与过程完全一样的由独立增量切立于先前已发生的一即从任何时刻起过程独开始重新因此过程在任何时刻都过程有平稳独立增量因中的的结果应该是在预料之注：定理Poisson：过程的又一种定义方法给出了定理Poisson2.3定义3.3：,,21XX间间隔如果每次事件发生的时.}0),({过程的是一个强度为数过程的指数分布，这该计数相互独立且服从同一参PoissonttN注：个质点的点间间距是如果任意相继出现的两.过程的点流构成强度为的指数分布，则质参数为相互独立，且服从同一Poisson同一指数分布。且服从间间距是否独立只要用统计方法检验点过程不是要确定一个计数过程是告诉我们定理,,,2.3Poisson例3.5:(见书例3.4)的概率是多少？个人接受服务离去，已有为止平均有多少人已经的指数分布，则到中午并服从均值为间是独立的且每个人接受服务的时有一名服务员只等候服务开始有无穷多个人排队：设从早上900:12min20,,008例3.6:其期望。布及需要等待时间的概率分汽车的乘客在此车站所共问可乘坐甲或乙两路公假定车总不会满员，试布分的乙分钟一辆，甲辆分钟分别服从两路汽车的达到通过某一站甲、乙两路公共汽车都.)(15)(110,Poisson定理3.3：.,2,1,的分布的和服从参数为nnTn证明：件分布二、事件发生时刻的条用。件分布相关性质及其应的条的条件下，讨论在给定nTTTntN,,,)(21引理：,}0),({过程是假设PoissonttN,0ts则有)1)(|(1tNsTPts发生的时刻只发生一次的前提下内即在已知AAt,],0[.],0[上是均匀分布在t过程具有平稳独立因为Poisson间内发生的的任何相等长度的子区事件在增量]1,0[,,概率是等可能的.],0[上的均匀分布即它的条件分布是t自然我们要问：的情况？）这个性质能否推广到1,)(1(nntN过程特有的？本定理的）这个性质是否是（Poisson2性质：首先讨论顺序统计量的逆命题是否成立？:,,,),(,,,,,,,,,,,1,0,,,,,,21(212121(21)(21的联合密度为则顺序统计量变量且具有概率密度随机是独立同分布的连续型量。若的顺序统计是对应于，则称个最小值，中第是个随机变量，如果是设）（）（））（）（）ninnnnknYYYyfYYYYYYYYYnkkYYYYnYYY),,,(21nyyyfniiyfn1)(!),(21nyyy原因：任一个；个排列中的的等于，而）将等于（（!),,,(),,,(),,,(,,,)1212121)()2()1(nyyyYYYyyyYYYnnnn的概率密度等于时，的一个排列是当（),,,(),,,(),,,(),,,()221212121nniiinniiiyyyYYYyyyyyy)()()(21niiiyfyfyfniiyf1)(注：上独立同均匀分布，都在若),0(,2,1,tniYi)1)((tyfi即的联合则其顺序统计量),,,()()2()1(nYYY密度函数是),,,(21nyyyfntn!),0(21tyyyn),,,(21niiiyyyf定理3.4：合分布密度是：的联个时刻的条件下，事件发生的则在已知过程为设nTTTnntNPoissonttN,,,)(,}0),({21),,,(21ntttfntn!),0(21ttttn