排列中的有关问题

11排列中的有关问题排列中的有关问题1、对排列定义的理解定义：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定顺序排成一列叫从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。这里要明确被取的元素是什么？取出的元素是什么？且取出的元素是按一定的顺序排列的。因此取出的元素一致但顺序不完全一致也是不同的排列，如123和312是不同的排列。因此排列一定和顺序有关。例如数字1,3,5,7两两相除可得到多少个不同的分数，这就是一个排列问题，把写在前面的数作为分子，后面的数作为分母，这样的一个排列就是一个分数，如13表示1/3,35表示3/5,53表示5/3等，从四个不同的数中取出两个数有多少个排列就有多少个分数，因此共有A422.对排列数及公式的理解从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示公式中表示从n开始由大到小连续m个自然数的连乘积3.无限制条件的排列问题例1：从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在3块不同土质的土地上，共有多少种不同的种法？分析：把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123表示种子1种在第1块土地上，种子2种在第2块土地上，种子3种在第3块土地上，因此3个数的一个排列就是一种种植方法，从5个不同数中取出3个数的一个排列就是一种种植方法，多少个排列就有多少种种法。例2：公共汽车上有4位乘客，其中任何两个人都不在同一车站下车，汽车沿途停靠6个站，那么这4位乘客不同的下车方法有多少种？分析：６个车站分别标上1,2,3,4,5,6,如1246表示第一位乘客在1号站下，第二位乘客在2号站下，第三位乘客在4号站下，第四位乘客在6号车站下，不同的排列表示不同的下法，有多少个不同的排列就有多少种不同的下法，共有A46=6·5·4·3=3604.有限制条件的排列问题1)特殊元素、特殊位置问题例3：用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数2)六位偶数3)大于213045的自然数1)解法一位置分析法：首位是特殊位置，0不能排，有5种排法，，其余4个位置有A45种排法，由乘法原理知共有5·A45=5·5·4·3·2=600解法二元素分析法：0是特殊元素，首先考虑，第一类是五位数中不含0有A55个，第二类五位数中含0,则第一步先排0有4种排法，第二步有A45种排法，由加法原理和乘法原理知共有A55+4·A45=600前两种解法都是直接法。解法3（间接法）6个数中取5个数的排列中有不满足要求的数如02134等，0这样的数共有A56-A45=6002)可分为两类，第一类是个位为0的有A55个，第二类个位不是0,个位有两种排法，首位有4种排法，中间四位有A44种排法，第二类共有2·4·A44=192,由加法原理共有A55+192=312形如2134,2135的数有A12·A22形如21054有一个因此满足要求的数共有449个3)形如3,4,5,这样的数都是满足条件的数共有A13·A55形如23，24，25这样的数都是满足条件的数共有A13·A44形如214,215这样的数都是满足条件的数共有A12·A44解法二；六节课全排列共有A66种排法，最后一节排数学有A55种排法，第一节排体育有A55种排法，第一节排体育且最后一节排数学有A44种排法，共有A66-2A55+A44=504例4。某班一天由语文、数学、外语、物理政治、体育六节课，要求数学不排在最后一节，体育不排在最后一节，共有多少种不同的排法。解法一：①若第一节排数学共有A55种排法，②若数学不排在第一节，则数学有四种排法，体育有四种排法，其余有A44种排法，因此共有4·4·A44因此共有A55+4·4·A44=504例5.四位男生、三位女生排队照相，根据下列要求，各有多少不同的排法①七个人排一列，三个女生任何两个都不能相邻排在一起②七个人排一列，四个男生必须连排在一起③男女生相间排列2)相邻、相间问题③男女男女男女男共有A44A35=144：①插空法：先排四个男生共有A44种排法_X_X_X_X_在五个空挡中选出三个空档插进去三个女生有A35种排法由乘法原理解共有A44A35=1440②捆绑法：四个男生看作一个元素和三个女生共四个元素有A44种排法,四个男生全排列有A44种排法由乘法原理共有A44A44=576解：连续命中的3枪和命中的另一枪被未命中的4枪所隔开，如图表示没有命中，_____命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有A25=5·4=20种排法例6.某人射击8枪，命中4枪，4枪命种恰好3枪连在一起的不同种数有多少？解法二：可以画一个树状图，知满足要求的拿法有9种3)其他问题例7：同室4名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？解法一：第一步第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有3种，第二步考虑被第一个同学拿走贺卡的那个同学也有3种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有3·3·1·1=9