排列组合之分堆问题

引例将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？⑴分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本；⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；⑷分成3堆，一堆3本，一堆2本，一堆1本；⑸分成3堆，每堆2本；⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本.分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的.②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：①学生甲从6本中取3本有36C种取法，②学生乙从余下的3本中取2本有23C种取法，③学生丙从余下的1本中取1本有11C种取法.所以方法数为321631CCC＝60；⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：①从6本中取3本作为一堆有36C种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C种取法，④将三堆依次分给甲乙丙三人有33P种分法.所以方法数为33112336PCCC＝360；⑶是指定人应得数量的均匀问题：①学生甲从6本中取2本有26C种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C种取法.所以方法数为222642CCC＝90；⑷是分堆的非均匀问题：①从6本中取3本作为一堆有36C种取法，②从余下的3本中取2本作为一堆有23C种取法，③从余下的1本中取1本作为一堆有11C种取法.所以方法数为321631CCC＝60；⑸是分堆的均匀问题：相当于①学生甲从6本中取2本有26C种取法，②学生乙从余下的4本中取2本有24C种取法，③学生丙从余下的2本中取2本有22C种取法.方法数为222642CCC＝90.然后再取消甲乙丙的分配顺序，故方法数为22236423CCCA＝15；⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为4113621322CCCPA＝90；⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为41162122CCCA＝15.以上问题归纳为：分给人（有序）分成堆（无序）非均匀33112336PCCC112336CCC均匀222426CCC33222426PCCC部分均匀2233111246PPCCC22111246PCCC分组（堆）问题有六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分.是排列、组合及其应用基本问题.在历年的各地高考试题中都有体现.例1(2006年重庆卷理（8）)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（）（A）30种（B）90种（C）180种（D）270种分析：这是一个有序局部等分问题.根据题意应先将5名实习教师按（2～2～1）分为三组，然后再将这三组依次安排到高一年级的3个班实习.解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有1225422215CCCA种方法，再将3组依次分到3个班有336A种分法.根据分步计数原理，共有15690种不同的分配方案，故选B.点评：没有明确安排各学校的教师分配数量时，要先将教师分成堆（组）再将各堆依次分配到学校，简称为“先分组，后到位”；对于局部均匀的分堆（组），先依次选取出来再去掉均匀堆（组）选出的顺序，即除以均匀堆（组）数的全排列.