第七章 不可压缩理想流体二元流动

一、流体微团运动的分析刚体运动：旋转、平移流体运动：旋转、平移变形(线变形和角变形)刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为平移、旋转和变形运动三部分。１、平移微团的移动速度，是O点坐标（x0,y0,z0）和时间t的函数，即几何形状不变，只是空间位置发生变化。2、线变形经dt时间O→O＇，M→M＇，O＇M＇两点的距离为显然较原来距离伸长了。其增量为称为线性变形。（1）单位时间内的线性变形为称为线性变形速度。（2）单位长度上单位时间内的线性变形，即单位长度上的线性变形速度为称为线变形率，为（3）微团的膨胀速率3、旋转和（纯）角变形纯角变形：各点旋转角度相同，方向相反。纯旋转：各点旋转角度相同，方向相同。在流场中任取一其边长与坐标轴平行的长方体的流体微团，其边长为dx,dy,dz,在xoy坐标面上的投影为ABCD。下面讨论矩形ABCD的三个顶点B，C，D在dt时间内相对于A点的运动情况,若只考虑C与D、B与A在y轴方向有相同的速度差，以及C与B、D与A在x轴方向有相同的速度差，经过dt时间后，微团由ABCD运动到AB’C’D’,其结果是CB边和DA边向顺时针方向旋转了微小角度dα,而CD边和BA边向逆时针方向旋转微小角度dβ由于B、A的速度在y轴方向的分量不等，造成图中A与B’之间的垂直距离为在x轴方向的分量不等，造成图中A与B’之间的水平距离为则可得：同理只发生角变形运动，使矩形变成平行四边形在一般情况下，，则矩形ABCD在发生旋转的同时，还要发生角变形运动，结果也变成了平行四边形。可见，角变形运动和旋转运动都是由于速度分量在垂直它的方向上的变化(即和)来决定。如果矩形ABCD看作是先发生逆时针旋转然后角变形再发生顺时针旋转最后角变形即ABCD旋转角度为：ABCD变形角度为ABCD经过旋转dθ角度和角变形角度后即运动至AB’C’D’，于是得：旋转角速度流体微团在垂直于Z轴的xoy平面上的角变形速度分量，即把单位时间的角变形之半定义为角变形速率角变形率流体微团的速度分解式设微团质量中心A(x,y,z)点，速度分量为(ux,uy,uz)，与A点相距极近的C点（x+dx,y+dy,z+dz）点在同一瞬时的速度在三个坐标方向上的分量为(ux’,uy’,uz’)上式即为流体微团上任意两点速度关系的一般形式，称为海姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理。右边第一项为平移速度；右边第二项为线变形速度增量；右边第三、四项为角变形引起的速度增量；右边第五、六项为旋转引起的速度增量。由此可见，流体运动除了平移、旋转以外多了线变形和角变形。例：设有平面流场，ux=x2y+y2,uy=x2-y2x,求此流场在点(1,2)处的线变形率、角变形率和旋转角速度。解：线变形率：uz=0,是平面流场4242122xyyuxyxuyyyxxx23)2()2(21)(2122yxyxyuxuxyxy角变形率旋转角速度27)2()2(21)(2122yxyxyuxuxyz一、无旋流动与有旋流动1、流体微团的旋转角速度不等于零的流动称为有旋流动(涡流)。2、流体微团的旋转角速度等于零的流动称为无旋流动(有势流动,简称势流)。无旋满足下列条件：注意：将流体分为有旋或无旋仅仅是根据流体质点本身是否有旋转运动，这里并不涉及流体本身运动的快慢，也不涉及流体质点本身运动的轨迹如何。如层流管流，流体质点运动轨迹不旋转，而质点是旋转的，所以是有旋的。对于无旋运动，yuxuxuzuzuyuxyzxyz;;dzzdyydxxddzudyudxuzyx函数),,,(tzyx与流场中的速度有关,函数就叫做速度势函数zyxuzuyux;;(简称速度势)。因此，也可以说，存在速度势函数的流动为有势流动，简称势流。在有势流动中一定存在关系不论是可压缩流体还是不可压缩流体，也不论是定常流动还是非定常流动，只要满足无旋流动条件，必然存在速度势函数。由数学分析可知，是成为某一标量函数全微分的充分必要条件。dzudyudxuzyx)(tzyx，，，速度势函数流函数对于不可压缩流体的平面流动，速度场必须满足不可压缩流体的连续性方程0yuxuyxyuxuyx)(根据数学分析知道，上式正是使uxdy-uydx成为某一函数Ψ的全微分的充分必要条件，即于是得：符合上式条件的函数ψ＝ψ（x，y）叫作二元不可压缩流场的流函数。对于流体的平面流动，其流线的微分方程为,将其改写成下列形式yxuyuxdd0ddyuxuxy由上式，令，即常数，可得流线微分方程式,即为平面流动中的流线方程。由此可见,常数的曲线即为流线，若给定一组常数值，就可得到流线簇。或者说，只要给定流场中某一固定点的坐标（）代入流函数，便可得到一条过该点的确定的流线。0d），（yx00yx，yuxuyyxxxyddddd说明：同一流线上各点的流函数为一常数，故流函数线即为流线。至此可看到，在不可压缩平面流动中，只要求出了流函数，由流函数就可求出速度分布。反之，只要流动满足不可压缩流体的连续性方程，不论流场是否有旋，流动是否定常，流体是理想流体还是粘性流体，必然存在流函数。），（yx这里需说明，等流函数线与流线等同，仅在平面流动时成立。对于三维流动，不存在流函数，也就不存在等流函数线，但流线还是存在的。二、流函数的性质（1）对于不可压缩流体的平面流动，流函数永远满足连续性方程。将流函数代入连续性方程式得即流函数永远满足连续性方程。（2）对于不可压缩流体的平面势流，流函数满足拉普拉斯方程，流函数也是调和函数。对于平面无旋流动，，则将流函数式代入上式因此，不可压缩流体平面无旋流动的流函数也满足拉普拉斯方程，也是一个调和函数。因此，在平面不可压缩流体的有势流场中的求解问题，可以转化为求解一个满足边界条件的拉普拉斯方程.yxxy220z0yuxuxy022222yx（3）平面流动中，通过两条流线间任一曲线单位厚度的体积流量等于两条流线的流函数之差。这就是流函数的物理意义。如图所示，在两流线间任一曲线AB，则通过单位厚度的体积流量为说明流函数物理意义用图21212121dd)d(dxxyyxxyyyxVxxyyxuyuq12,),(2211dyxyx由上式可知，平面流动中两条流线间通过的流量等于这两条流线上的流函数之差。三、流函数ψ与速度势ϕ的关系1、满足柯西-黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数，比较式可得到速度势函数和流函数之间存在的如下关系这是一对非常重要的关系式，在高等数学中称作柯西-黎曼条件。因此，和互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。当势函数和流函数二者知其一时，另一个则可利用柯西-黎曼条件式的关系求出，而至多相差一任意常数。0yyxx2、等流函数线与等速度势线互相垂直，即流线与等势线互相垂直。证明了流线与等势线互相垂直yxuyuxdd0dyudxuyx3、流网是等势线簇[常数]和流线簇[常数]互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图所示。流网特性：等势线与流线正交。0yyxx），（yx），（yx【例】有一不可压流体平面流动的速度分布为。①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4×105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？【解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。由于是平面流动该流动无旋，存在速度势函数。yvxu44，0)4()4(yyxxyvxu0yx0442121yxxyyuxvz（2）由流函数的全微分得：积分由速度势函数的全微分得：积分（3）由于，因此，A和B处的速度分别为由伯努里方程可得yxxyyuxvyyxxd4d4dddddCxy4yyxxyvxuyyxxd4d4dddddCyx)(222222vuV)(32)14()14(22222AsmV)(464)54()24(22222BsmV2BB2AA2121VpVp)(8.139740)46432(2.121104.1)(2152B2AABPaVVpp