第二章__声子

第二章声子1.晶格动力学本节用经典力学的方法讨论完整晶格中原子（离子）绕平衡位置的振动晶格振动首先我们考虑一个元胞中只有一个原子（离子）的简单晶格晶体的元胞数为N，原子质量为M，原子l的位置：)()(tuRtXlll)(tul则代表此原子的位移。晶格振动的总动能zyxuuMTlll,,21,总势能为...)',(21)(',',0lllllluullul),'()',(0)(0'200lluullullll的势能。为常数，是平衡位置时由于晶体的平移对称性)'()'()',(llllll)'(ll代表l’元胞中原子沿方向移动单位距离时对l元胞中原子作用力沿方向的分量，称为力常数'0)'(lll因为当整体作刚性运动（即每个原子均作）时，晶格中任一原子受到其它原子作用力之总和为零；即vul0)'()'()('''vllullulFlll在简谐近似下，略去展开的三次方0令,,'',)'(2121llllllllluMpuullppMTH由正则方程lluHp可得系统的运动方程',')'(lllulluM利用平移对称性及布洛赫定理0ueulRikl对于确定的k，运动方程的解表现出下列特征：1.各元胞中原子振动的方向相同，振幅相等。2.有特定的相位关系，按变化lRike因此，每一确定的k的解代表波长为的集体振动，称为格波||2k令对应于用波矢k标记的特解kUu0可将3N自由度的耦合方程组简化为N个独立的3自由度耦合方程。而每个波矢满足方程zyxUkDUkk,,,)(lRiklelMkD)(1)(-------33动力学矩阵，为实的厄米矩阵。其对角化方程为kkeekD2)(为振动频率，由久期方程0||)(||det2kD可求出3个本征频率和本征向量），，（321;)(kek满足正交性和完备性条件tikkeeU~结合以上方程可知：][1~tRkiklleeNu代表波矢为k、偏振为、频率为的格波解。)(k在BZ中，一定时刻t的格波解称为简振膜。lRikkeeN21根据正格矢与倒格矢之间的关系可得)()(kDKkDn动力学矩阵是倒逆空间的周期函数；因此在BZ内讨论即可。由于有N个不同的k，而每个k又对应3个本征值，因此有3N个简正模（或格波解），它们满足正交、归一和完备性条件，构成3N维空间函数组。对于具有r个原子的复式晶格，本征频率)3,..,2,1()(rklRikkkksleQseNMsu)(1)(,晶格振动的一般解：kQtkie)(系数（包括因子）在固体物理学中称为简正坐标；ke代表格波的偏振方向，称为极化矢量，它是单位矢。lRikkkkleQeNMu,12.格波的特性1.的共性)(ki）格波的本征频率是倒点阵的周期函数)()(nKkkii）具有点阵所属点群的全部对称性)(k)()(kkiii）存在一个普遍的关系式)()(kk它是时间反演对称性的结果。2.声学模与光学模声学模：色散曲线具有k=0时，=0特征的格波称为声学模。光学模：反之，当k=0时,的格波解称为光学模。0可以证明：简单晶格中的全部格波解都属于声学模因为：lRiklelMkD)(1)(0)(1)0(llMkD在复式晶格中，同时存在声学模和光学模对于元胞中有r个原子的复式晶格有本征方程)()'(',',2sesesskDksk其中s,s’=1,…,r,代表元胞中不同的原子。格波频率由下式决定：0||',||det'2sssskDlRiklssesslMMsskD',1','0'2)'()(','susussllll同样，复式晶格的刚性位移不产生应力','0','slssll将代入本征方程可得D0时的k)3,...,2,1()'(','1)()('',',2rMsessllMMsesslss如果某确定的的解在长波限满足条件rssMseMsess,...,1',)'()('----同向运动则本征方程变为声学模,0)(0',')(1)()(2','2ssllMseMMseslsss由此可知，复式晶格的声学模为元胞内各原子的同向运动，即元胞的质心运动每个k值有3个独立的解属于声学模。在一般情况下，，即其它（3r-3）个解属于格波的光学模0)(如果（s=1，2），当时点的实极化矢量满足正交关系：'0)2()2()1()1()2()1()2()1(''''eeeeeeee设为声学模，由于对声学模有21)2()1(MeMe代入上式可得0)2()1()1('2'11eMeMMe由于3个声学模解的极化向量彼此正交。)3,2,1()(se因此，光学模满足条件0)2()1()2()1(21'2'1lluMuMeMeM因此，光学模代表元胞的质心不动，元胞内原子的相对运动。3.格波频率的计算二维的正方晶格lRiklelMkD)(1)(0llflll11,5()2iij（i）线（包含、M点）横向声学模：极化矢量e与传播方向垂直；纵向声学模：极化矢量e与传播方向平行；（ii）线（包含、X点）存在横向声学模和纵向声学模（iii）Z线（包含X、M点）既非横波，也非纵波。一维复式晶格既存在声学模，也存在光学模3.简正坐标在简谐近似下晶格振动已由简正模的线性叠加表示lRikkkkleeQNMu,1kQlulluu*其是复简正坐标，由于中为实量，则那么；kkkkQeQe*若约定极化矢量满足关系式kkee则复简正坐标kkQQ*对于动能kkkkkkkkkkkkkkkklllQQeeQQeeQQuuMT,*','*','''',',''21)(21)(2121晶格振动的势能AeNQQullulRkkikkkklllll)'(''',',*',,'121)'(21其中)'()()'()'(12''''''')(''keeekDeeellMeAkkkkklRRikkll那么kkkQQk,*2)(21晶格振动的哈密顿可简化为,*2*)(21kkkkkQQkQQHH在简正坐标中表示为3N个独立项之和；利用拉氏函数TL可求出Qk的共轭动量*kkkQQLP,*2*)(21kkkkkQQkPPH根据正则方程kkQHP可求出简正坐标满足方程02kkkQQ与简谐振子的运动方程在形式上相同。利用傅里叶变换,)(1)(lRiklklRiklkklleueNMeueNMQ,)(1)(1lRiklklRiklkkllepeNMepeNMPkQkP显然简正坐标和其共轭动量均为集体坐标。4.声子晶格振动必须用量子力学处理其量子化条件为共轭量满足对易关系llup,),,,(0],[],[],[''''''zyxppuuipuupupllllllllllll（一次量子化）那么容易求得简正坐标的对易律：'')'('''('''',,''1)(],)[(1],['kkRkkilkkRkRkillkllkkkieNeeieupeeNQPllll）0],[],[''''kkkkPPQQ由于（P，Q）为复共轭量，因此，H哈密顿中))((21*2*kkkkQQkPP并不对应量子力学中频率为的简谐振子哈密顿量)(k)(21222qp因为（p，q）为实量。晶格振动的哈密顿可进一步写成：,2)(21kkkkkQQkPPH为了消除H中k和-k的交叉项，通过正则变换（对易关系不变）定义新算符))((2)())((2)(kiPQkakiPQkakkkkkk（二次量子化）经计算可得哈密顿,,)(21kkkkkHkaaH对易关系为0],[],[],[''''''''kkkkkkkkaaaaaa（玻色对易关系）其时间依赖关系可利用海森堡运动方程()[,]()(0)kkkiktkkiaHaikaaae位移矢量可表示为,])([(2/1,2/1..)0()(2)(2ktkRkkkkRikkRikkklcheaekNMeaeaekNMulllh.c.代表厄米共轭项，这是位移的行波展开，其中每一项求和代表频率)(kkekH偏振沿k方向传播的格波，它所对应的哈密顿量是定态薛定谔方程)(21kaaHHkkkkkkk其中进一步可得kkkkkkkkaak')](21[)(暂时略去（k，）'aa下面讨论上面算符方程的基态和激发态（i）基态0'o设基态为，有能量，采用狄拉克（Dirac）算符0|0|'0aa将算符a作用上式两边0|0|)1(0|'0aaaaaaa得到另一个态满足0|a)0|)(()0|('0aaaa0当时它比|0具有更低的能量，显然与原假设矛盾，所以基态必须满足条件00|a上式即二次量子化表象中的基态定义00|aa由于，于是基态能为2100'0它相当于振子的零点能。（ii）激发态††††(|0)()aaaaaa0|a称为激发一个能量为的波格量子的状态，称为第一激发态。0|)(0|)(nnanaaa0|)(na代表激发n个格波量子的状态，叫做第n激发态，用n|表示0|)(|nnacn其中cn由归一化条件决定。(|0)a(1)|0aaa同样，,....)3,2,1(||''nnnnaann格波能量总是以一份份地激发，这个量子称为声子激发了n个声子的格波能量为)21(21'nnn与谐振子的能量一致。（iii）递推关系